【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}(n∈N*),首項(xiàng)a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,且S3+a3、S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)任意正整數(shù)n,都有Tn∈[a,b],求b-a的最小值.
【答案】(1)an=3×()n-1.(2)9.
【解析】試題分析:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意,列成方程,求解 ,即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)由(1)知nan=3n×,用乘公比錯(cuò)位相減法求的Tn,根據(jù)Tn的增減性,求解3≤Tn<12,即可求解b-a的最小值.
試題解析:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
∵S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差數(shù)列,
∴有2(S5+a5)=(S3+a3)+(S4+a4)
即2(a1+a2+a3+a4+2a5)=(a1+a2+2a3)+(a1+a2+a3+2a4),
化簡(jiǎn)得4a5=a3,從而4q2=1,解得q=±,
∵an>0,∴q=,得an=3×()n-1.
(2)由(1)知,nan=3n×()n-1,Tn=3×1+3×2×()+3×3×()2+…+3n()n-1;
Tn=3×1×()+3×2×()2+…+3(n-1)×()n-1+3n()n
兩式相減得:Tn=3×1+3×()+3×()2+…+3×()n-1-3n()n
=3×-3n()n=6-,
∴Tn=12-<12.
又nan=3n×()n-1>0,∴{Tn}單調(diào)遞增,
∴(Tn)min=T1=3,故有3≤Tn<12.
∵對(duì)任意正整數(shù)n,都有Tn∈[a,b],
∴a≤3,b≥12.
即a的最大值為3,b的最小值為12.
故(b-a)min=12-3=9.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,是橢圓的右焦點(diǎn),直線的斜率為,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).當(dāng)的面積最大時(shí),求直線的方程.
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【題目】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇﹣1,1],圖象如圖1所示;函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇﹣2,2],圖象如圖2所示,設(shè)函數(shù)f(g(x))有m個(gè)零點(diǎn),函數(shù)g(f(x))有n個(gè)零點(diǎn),則m+n等于( 。
A. 6 B. 10 C. 8 D. 1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】北京大學(xué)從參加逐夢(mèng)計(jì)劃自主招生考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六組, ,…, 后得到如下部分頻率分布直方圖,觀察圖形的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率;
(2)估計(jì)本次考試成績(jī)的中位數(shù)(結(jié)果四舍五入,保留整數(shù));
(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2人,求至多有人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在幾何體中,四邊形為菱形,對(duì)角線與的交點(diǎn)為,四邊形為梯形, .
(Ⅰ)若,求證: 平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)若, , ,求與平面所成角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,底面為直角梯形, 平面,側(cè)面是等腰直角三角形, , ,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).
(1)證明:平面平面;
(2)求銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中, 的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,三個(gè)內(nèi)角滿足.
(1)若頂點(diǎn)的軌跡為,求曲線的方程;
(2)若點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作曲線的切線交圓于不同的兩點(diǎn)(其中在的右側(cè)),求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù).
(1)若,求的取值范圍;
(2)討論的單調(diào)性;
(3)當(dāng)時(shí),討論在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn), 的面積為,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn),若,求的取值范圍.
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