【題目】已知橢圓的離心率為
,且與雙曲線
有相同的焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓
相交于
,
兩點,點
滿足
,點
,若直線
斜率為
,求
面積的最大值及此時直線
的方程.
【答案】(1)(2)
,直線的方程為
【解析】
(1)有題意有可求解.
(2)先討論特特殊情況, 是否為原點,然后當
的斜率存在時, 設
的斜率為
,表示出
的長度,進一步表示出
的面積,然后求最值.
解:(1)由題設知
,
橢圓的方程為:
(2)法一:
為
的中點
又
1)當為坐標原點時
當
的斜率不存在時,此時
、
為短軸的兩個端點
當
的斜率存在時,設
的斜率為
設,
,則
,代入橢圓方程
整理得:
,
到
的距離
解一:令
令
或
函數(shù)
在
單調(diào)遞增,
單調(diào)遞減,
單調(diào)遞增
時,
為
的極大值點,也是最大值點
直線方程為
解二:設,則
要得
的最大值
,
當,
時,即
,
時等號成立
,直線方程為
2)當不為原點時,由
,
,
,
三點共線
,設
,
,
,
的斜率為
,
,
,
在橢圓上,
得
,即
設直線代入橢圓方程,整理得
,
到直線
的距離
令,
,
令,
,
,
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減
,
,此時直線
綜上所述:,直線的方程為
解二:設,
,
為
的中點,
在橢圓上
當直線
的斜率不存在時,設
則
,
, 所以
,則
,
為短軸上的兩個端點
當直線
的斜率
存在時,設
,
消去
得
,
,
由得
或
下同解法一
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】近年來,我國工業(yè)經(jīng)濟發(fā)展迅速,工業(yè)增加值連年攀升,某研究機構(gòu)統(tǒng)計了近十年(從2008年到2017年)的工業(yè)增加值(萬億元),如下表:
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
工業(yè)增加值 | 13.2 | 13.8 | 16.5 | 19.5 | 20.9 | 22.2 | 23.4 | 23.7 | 24.8 | 28 |
依據(jù)表格數(shù)據(jù),得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
5.5 | 20.6 | 82.5 | 211.52 | 129.6 |
(1)根據(jù)散點圖和表中數(shù)據(jù),此研究機構(gòu)對工業(yè)增加值(萬億元)與年份序號
的回歸方程類型進行了擬合實驗,研究人員甲采用函數(shù)
,其擬合指數(shù)
;研究人員乙采用函數(shù)
,其擬合指數(shù)
;研究人員丙采用線性函數(shù)
,請計算其擬合指數(shù),并用數(shù)據(jù)說明哪位研究人員的函數(shù)類型擬合效果最好.(注:相關(guān)系數(shù)
與擬合指數(shù)
滿足關(guān)系
).
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及統(tǒng)計值,建立關(guān)于
的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(3)預測到哪一年的工業(yè)增加值能突破30萬億元大關(guān).
附:樣本
的相關(guān)系數(shù)
,
,
,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實數(shù)
,滿足
,則稱
為“局部奇函數(shù)”.
(1)已知二次函數(shù),試判斷
是否為“局部奇函數(shù)”?并說明理由;
(2)若是定義在區(qū)間
上的“局部奇函數(shù)”,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若為定義域
上的“局部奇函數(shù)”,求實數(shù)
的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰梯形中,
,
,
,
為
中點,以
為折痕把
折起,使點
到達點
的位置(
平面
).
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若直線與平面
所成的角為
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義[x]表示不超過x的最大整數(shù),,例如:
.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入的
,則輸出結(jié)果為( )
A.-4.6B.-2.8C.-1.4D.-2.6
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域為
且滿足
,當
時,
.
(1)判斷在
上的單調(diào)性并加以證明;
(2)若方程有實數(shù)根
,則稱
為函數(shù)
的一個不動點,設正數(shù)
為函數(shù)
的一個不動點,且
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.設m為實數(shù),若方程表示雙曲線,則m>2.
B.“p∧q為真命題”是“p∨q為真命題”的充分不必要條件
C.命題“x∈R,使得x2+2x+3<0”的否定是:“x∈R,x2+2x+3>0”
D.命題“若x0為y=f(x)的極值點,則f’(x)=0”的逆命題是真命題
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