【題目】如圖,等腰梯形中,,,,為中點,以為折痕把折起,使點到達點的位置(平面).
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若直線與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
【答案】(I)見解析;(II).
【解析】
(I)先證明,再證明;(II)在平面POB內(nèi)作PQ⊥OB,垂足為Q,
證明OP⊥平面ABCE,以O(shè)為原點,OE為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法求二面角的余弦值.
(I)證明:在等腰梯形ABCD中,連接BD,交AE于點O,
∵AB||CE,AB=CE,∴四邊形ABCE為平行四邊形,∴AE=BC=AD=DE,
∴△ADE為等邊三角形,∴在等腰梯形ABCD中,,,
∴在等腰中,
∴,即BD⊥BC,
∴BD⊥AE,
翻折后可得:OP⊥AE,OB⊥AE,又,,
;
(II)解:在平面POB內(nèi)作PQ⊥OB,垂足為Q,
因為AE⊥平面POB,∴AE⊥PQ,
因為OB平面ABCE, AE平面ABCE,AE∩OB=O
∴PQ⊥平面ABCE,∴直線PB與平面ABCE夾角為,
又因為OP=OB,∴OP⊥OB,
∴O、Q兩點重合,即OP⊥平面ABCE,
以O(shè)為原點,OE為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標系,由題意得,各點坐標為,
設(shè)平面PCE的一個法向量為,
則
設(shè),則y=-1,z=1,
∴,
由題意得平面PAE的一個法向量,
設(shè)二面角A-EP-C為,.
易知二面角A-EP-C為鈍角,所以.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,動點E到定點和定直線的距離相等.
(1)求動點E的軌跡C的方程;
(2)設(shè)動直線與曲線C有唯一的公共點P,與直線相交于點Q,若,求證:點M的軌跡恒過定點.
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【題目】如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“型點”.
(1)若,時,判斷的左焦點是否為“型點”,并說明理由;
(2)設(shè)直線與有公共點,求證,進而證明原點不是“型點”;
(3)若圓內(nèi)的任意一點都不是“型點”,試寫出a、b滿足的關(guān)系式,并說明理由.
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【題目】地球上的風能取之不盡,用之不竭.風能是淸潔能源,也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風力發(fā)電,近10年來,全球風力發(fā)電累計裝機容量連年攀升,中國更是發(fā)展迅猛,2014年累計裝機容量就突破了,達到,中國的風力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟,在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發(fā)電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖. 根據(jù)所給信息,正確的統(tǒng)計結(jié)論是( )
A.截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值
B.10年來全球新增裝機容量連年攀升
C.10年來中國新增裝機容量平均超過
D.截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過
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【題目】已知橢圓的離心率為,且與雙曲線有相同的焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓相交于,兩點,點滿足,點,若直線斜率為,求面積的最大值及此時直線的方程.
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【題目】在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,,,平面平面ABCD.
(1)求證:;
(2)若,且,求四棱錐P-ABCD的體積.
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【題目】已知橢圓: 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,直線: 與橢圓有且只有一個公共點.
(Ⅰ)求橢圓的方程及點的坐標;
(Ⅱ)設(shè)是坐標原點,直線平行于,與橢圓交于不同的兩點、,且與直線交于點,證明:存在常數(shù),使得,并求的值.
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【題目】已知等差數(shù)列的前項和為,等比數(shù)列的前項和為,且
(1)設(shè),求數(shù)列的通項公式;
(2)在(1)的條件下,且,求滿足的所有正整數(shù);
(3)若存在正整數(shù),且,試比較與的大小,并說明理由.
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