Question

【題目】已知函數(shù)，是的導函數(shù)，且.

（1）求的值，并證明在處取得極值；

（2）證明：在區(qū)間有唯一零點.

Answer 1

【答案】（1），證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）求出導函數(shù)，根據(jù)求出的值，再通過計算導函數(shù)的正負情況說明函數(shù)的單調(diào)性，計算出極值點.

（2）根據(jù)，由零點存在性定理可知函數(shù)在區(qū)間有零點，再證明零點的唯一性即可.

解：（1），令，得，∴.

∴，.

當時，，，故是區(qū)間上的增函數(shù).

當時，令，則，在區(qū)間上，，故是上的減函數(shù)，∴，即在區(qū)間上，，因此是區(qū)間上的減函數(shù).綜上所述，在處取得極大值.

（2）由（1），∵（當且僅當時，.）

，∴在區(qū)間至少有一個零點.

以下討論在區(qū)間上函數(shù)值的變化情況：

由（1），令，則，

令，在上，解得，.

①當時，在區(qū)間，，遞減，；在，，

遞增，.故存在唯一實數(shù)，使，即.在

上，，遞減，；在上，，遞增，而，故在上，，當且僅當時，.故在上有唯一零點.

②對任意正整數(shù)，在區(qū)間，，遞減，，

在區(qū)間，，遞增，，故存在唯一實數(shù)，使，即，在上，因，故，遞減，在上，因，故，遞增，，，∴，

∴在區(qū)間即有唯一零點.

綜上，在區(qū)間有唯一零點.