對于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大時，
1
a
+
2
b
+
4
c
的最小值為
 
．
考點(diǎn)：一般形式的柯西不等式,基本不等式
專題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：首先把：4a2-2ab+b2-c=0，轉(zhuǎn)化為
c
4
=(a-
b
4
)2+
3
16
b2，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分別用b表示a，c，在代入到
1
a
+
2
b
+
4
c
得到關(guān)于b的二次函數(shù)，求出最小值即可．
解答： 解：∵4a2-2ab+b2-c=0，
∴
c
4
=(a-
b
4
)2+
3
16
b2
由柯西不等式得，
[(a-
b
4
)2+(
3
b
4
)2][22+(2
3
)2]≥[2(a-
b
2
)+
3
b
4
×2
3
]2=|2a+b|2
故當(dāng)|2a+b|最大時，有
a-
b
4
2
=
3
b
4
2
3

∴a=
1
2
b，c=b2
∴
1
a
+
2
b
+
4
c
=
2
b
+
2
b
+
4
b2
=4(
1
b
+
1
2
)2-1
當(dāng)b=-2時，取得最小值為-1．
故答案為：-1
點(diǎn)評：本題考查了柯西不等式，以及二次函數(shù)的最值問題，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cosx•sin（x+
π
3
）-
3
cos2x+
3
4
，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間（
π
6
，
π
2
）是減函數(shù)，則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(
x
y
-
y
x
)8的展開式中x2y2的系數(shù)為
 
．（用數(shù)字作答）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若x，y滿足
y≤1
x-y-1≤0
x+y-1≥0
，則z=
3
x+y的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若直線l與曲線C滿足下列兩個條件：
（i）直線l在點(diǎn)P（x0，y0）處與曲線C相切；（ii）曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過”曲線C．
下列命題正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①直線l：y=0在點(diǎn)P（0，0）處“切過”曲線C：y=x3
②直線l：x=-1在點(diǎn)P（-1，0）處“切過”曲線C：y=（x+1）2
③直線l：y=x在點(diǎn)P（0，0）處“切過”曲線C：y=sinx
④直線l：y=x在點(diǎn)P（0，0）處“切過”曲線C：y=tanx
⑤直線l：y=x-1在點(diǎn)P（1，0）處“切過”曲線C：y=lnx．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A（-2，3）在拋物線C：y2=2px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為（　　）
A、-
4
3
B、-1
C、-
3
4
D、-
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（　�。�
A、72cm3
B、90cm3
C、108cm3
D、138cm3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

由不等式組
x≤0
y≥0
y-x-2≤0
確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組
x+y≤1
x+y≥-2
確定的平面區(qū)域記為Ω2，在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為（　　）
A、
1
8
B、
1
4
C、
3
4
D、
7
8

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同步練習(xí)冊答案