Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-n（其中n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=

log2(an+1)

2n

，且T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于S_n=2a_n-n，n∈N^*總成立，可得出S_n+1=2a_n+1-（n+1），此兩式作差，即可整理出等比數(shù)列的形式，證明結(jié)論；
（2）先由已知求出b_n的通項(xiàng)公式，根據(jù)其形式選擇錯(cuò)位相減法求和．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-n，n∈N^*．①
∴S_n+1=2a_n+1-（n+1），②
②-①得a_n+1=2a_n+1，整理得a_n+1+1=2（a_n+1）．
又S₁=2a₁-1，得a₁=1
故{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1，
（2）b_n=

log2(an+1)

2n

=

n

2n

．
所以T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

    ③

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

   ④
③-④得

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

點(diǎn)評：本題考查等比關(guān)系的確定及錯(cuò)位相減法求和，是數(shù)列大型考試中熱門題型，尤其是錯(cuò)位相減法，要理解其過程及原理，目的．