Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²+ax（a∈R）
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，e]上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的在[

1

e

，e]上的極值和最值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=2lnx-x²+2x，
則f′（x）=

2

x

-2x+2，切點坐標為（1，1），
切線斜率k=f′（1）=2，
則函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y-1=2（x-1），
即y=2x-1；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax+m=2lnx-x²+m，
則g′（x）=

2

x

-2x=

-2(x+1)(x-1)

x

，
∵x∈[

1

e

，e]，
∴由g′（x）=0，得x=1，
當

1

e

＜x＜1時，g′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當1＜x＜e時，g′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
故當x=1時，函數(shù)g（x）取得極大值g（1）=m-1，
g（

1

e

）=m-2-

1

e2

，g（e）=m+2-e²，
g（e）-g（

1

e

）=4-e²+

1

e2

＜0，
則g（e）＜g（

1

e

），
∴g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，e]上最小值為g（e），
要使g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，e]上有兩個零點，
則滿足

g(1)=m-1＞0 g( 1 e )=m-2- 1 e2 ≤0

，
解得1＜m≤2+

1

e2

，
故實數(shù)m的取值范圍是（1，2+

1

e2

]

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的機制和最值問題，考查學(xué)生的計算能力．