Question

設函數(shù)h（x）=2px-3lnx-

p

x

-1和函數(shù)f（x）=lnx-px+1（p∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）=h（x）+f（x）在定義域內為單調函數(shù)，求p的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅲ）證明：

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜n-1（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,數(shù)列的求和

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求導，再單調遞增和遞減恒成立，求參數(shù)p的范圍；
（Ⅱ）對f（x）進行求導，令f′（x）=0，解方程，求出f（x）的極值點；
（Ⅲ）可以令p=1，得出不等式lnx≤x-1，將x換為n²，利用不等式lnn²≤n²-1，進行放縮證明．

解答： 解：（Ⅰ）∵h（x）=2px-3lnx-

p

x

-1，f（x）=lnx-px+1（p∈R）．
∴g（x）=h（x）=2px-3lnx-

p

x

-1+lnx-px+1=px-2lnx-

p

x

∴g′（x）=

px2-2x+p

x2

，
若g（x）單調遞增則px²-2x+p≥0，在（0，+∞）上恒成立，
則p≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，
又 x+

1

x

≥2當且僅當x=1時取等號，
∴0＜

2

x+ 1 x

≤1，p≥1，
若g（x）單調遞減p≤

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立
∴p≤0；
（Ⅱ）∵f（x）=lnx-px+1定義域為（0，+∞），
∴f′(x)=

1

x

-p=

1-px

x

，
當p≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上無極值點
當p＞0時，令f′（x）=0，∴x=

1

p

∈（0，+∞），f′（x）、f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0， 1 p ）	1 p	（ 1 p ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

從上表可以看出：當p＞0時，f（x）有唯一的極大值點x=

1

p

；
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，lnx-x+1≤0，∴l(xiāng)nx≤x-1，
∵n∈N，n≥2，
∴l(xiāng)nn²≤n²-1，
∴

lnn2

n2

≤f（n）=

n2-1

n2

-

lnn2

n2

=1-

1

n2

，
∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

≤(1-

1

22

)+(1-

1

32

)+…+(1-

1

n2

)
=（n-1）-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）
≤（n-1）-（

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

）
=（n-1）-（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=（n-1）-（

1

2

-

1

n+1

）
=

2n2-n-1

2(n+1)

=

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

＜n-1
∴結論成立．

點評：此題主要考查函數(shù)的單調性以及函數(shù)在極值點取得極值點條件，第三問利用不等式進行放縮，同學們要認真看放縮的過程，這類題比較難，是高考的壓軸題．