Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，對(duì)任意n∈N^*，

4Sn

n

=an+1-n2-2n-1．
（1）求a₂；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

5

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）在數(shù)列遞推式中取n=1，結(jié)合a₁=1可求得a₂；
（2）在數(shù)列遞推式中，取n=n-1得另一遞推式，作差后得到新數(shù)列bn=

an

n(n+1)(n+2)

，有bn-bn-1=

3n-2

n(n+1)(n+2)

=5(

1

n+1

-

1

n+2

)-(

1

n

-

1

n+2

)，由累加法求得b_n，代入bn=

an

n(n+1)(n+2)

求得a_n；
（3）把（2）中求得的an=n3縮小，得到an=n3＞(n-1)n(n+1)，取倒數(shù)后進(jìn)一步放大列項(xiàng)，作和后正負(fù)相消即可證得答案．

解答： （1）解：由

4Sn

n

=an+1-n2-2n-1，得：

4×1

1

=a2-12-2-1，解得：a₂=8；
（2）解：由

4Sn

n

=an+1-n2-2n-1，得：
4Sn=nan+1-n3-2n2-n，
當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-2(n-1)2-(n-1)，
兩式作差整理得na_n+1-（n+3）a_n=n（3n+1），
則

a2

2×3×4

-

a1

1×2×3

=

3×1+1

2×3×4

，
對(duì)于任意正整數(shù)n都有

an+1

(n+1)(n+2)(n+3)

-

an

n(n+1)(n+2)

=

3n+1

(n+1)(n+2)(n+3)

．
設(shè)

an

n(n+1)(n+2)

=bn，
則當(dāng)n≥2時(shí)，bn-bn-1=

3n-2

n(n+1)(n+2)

=5(

1

n+1

-

1

n+2

)-(

1

n

-

1

n+2

)．
∴b_n-b₁=（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）
=5[(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]-[(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=5(

1

3

-

1

n+2

)]-[(

1

2

+

1

3

-

1

n+1

-

1

n+2

)]=

5

6

+

1

n+1

-

4

n+2

．
bn=1+

1

n+1

-

4

n+2

=

n2

(n+1)(n+2)

．
∴an=bn•n(n+1)(n+2)=n3．
而a1=1=13，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是an=n3．
（3）證明：當(dāng)n=1時(shí)，

1

a1

=1＜

5

4

，不等式成立，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=n3＞(n-1)n(n+1)，

1

an

＜

1

(n-1)n(n+1)

＜

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)-(

1

n

-

1

n+1

)，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+[

1

2

(

1

1

-

1

3

)-(

1

2

-

1

3

)]+[

1

2

(

1

2

-

1

4

)-(

1

3

-

1

4

)]
+…+[

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)-(

1

n

-

1

n+1

)]
=1+[

1

2

(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)]-[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=1+

1

2

(

1

1

+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)-(

1

2

-

1

n+1

)＜

5

4

-

1

2n(n+1)

＜

5

4

．
綜上所述，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，放縮列項(xiàng)是解答該題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生靈活分析問題和觀察問題的能力，考查了計(jì)算能力，是難度較大的題目．