Question

如圖，AB為圓O直徑，已知A（-2，0）、B（2，0），D為圓O上的一點，且O

A

•O

D

=0，Q為線段OD的中點，曲線C過Q點，動點G在曲線C上運動且保持|GA|+|GB|的值不變
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點D的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設

DM

DN

=λ，求λ的取值范．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由題意可知，曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓，結合已知條件求出橢圓的長半軸長和短半軸長，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論，斜率不存在時直接求得λ的值，斜率存在時設出直線l的方程，和（Ⅰ）中求得的方程聯立后由判別式大于0得到斜率的范圍，再由根與系數關系結合

DM

DN

=

x1

x2

=λ (λ＞0)整體化簡得到

(1+λ)2

λ

=

80

3(5+ 1 k2 )

，由判別式中求得的k的范圍代入求得λ的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，

∵|GA|+|GB|=|QA|+|QB|=2

5

＞|AB|
∴曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓
設其長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，
則a=

5

，c=2，b=1，
∴曲線C的方程為

x2

5

+y2=1；
（Ⅱ）當k不存在時，顯然λ=

DM

DN

=

1

3

（此時直線l與y軸重合），
當k存在時，設直線l的方程為y=kx+2，代入

x2

5

+y2=1，得（1+5k²）x²+20kx+15=0．
△=（20k）²-4×15（1+5k²）＞0，得k2＞

3

5

．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則

DM

DN

=

x1

x2

=λ (λ＞0)，
由根與系數關系得

x1+x2=- 20k 1+5k2 x1x2= 15 1+5k2

，將x₁=λx₂代入得，

(1+λ)2x22= 400k2 (1+5k2)2 λx22= 15 1+5k2

，∴

(1+λ)2

λ

=

400k2

15(1+5k2)

=

80

3(5+ 1 k2 )

．
∵k2＞

3

5

，
∴4＜

80

3( 1 k2 +5)

＜

16

3

，
∴4＜

(1+λ)2

λ

＜

16

3

，
∵λ=

DM

DN

＞0，解得

1

3

＜λ＜3 ①
又∵M在D、N之間，
∴λ=

DM

DN

＜1 ②
綜①②可得

1

3

≤λ＜1．

點評：本題主要橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關系的應用，直線與曲線聯立，根據方程的根與系數的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，是高考試卷中的壓軸題．