【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，圓，以動(dòng)點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓與圓內(nèi)切.

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線過(guò)點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，則在軸上是否存在一點(diǎn)，使得軸平分？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）（2）在軸上存在一點(diǎn)，使得軸平分.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切得，再根據(jù)橢圓定義得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）軸平分，就是直線的斜率相反，設(shè)直線，根據(jù)斜率坐標(biāo)公式得，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得，即得

試題解析：解：（Ⅰ）圓的方程可化為： ，

故圓心，半徑，

而，所以點(diǎn)在圓內(nèi).

又由已知得圓的半徑，由圓與圓內(nèi)切可得，圓內(nèi)切于圓，即，

所以，

故點(diǎn)的軌跡，即曲線是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.

顯然，所以，

故曲線的方程為

（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)直線，

代入得： ， 恒成立.

由根與系數(shù)的關(guān)系可得， ，

設(shè)直線的斜率分別為，則由得，

.

∴，將代入得，

因此，故存在滿足題意.

當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線為軸，取，滿足，

綜上，在軸上存在一點(diǎn)，使得軸平分.

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