Question

【題目】已知{fn（x）}滿足f1（x）= （x＞0），fn+1（x）=f1[fn（x）]，
（1）求f2（x），f3（x），并猜想fn（x）的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)fn（x）的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）

解： 猜想： ，（n∈N*）

（2）

解：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 ，（n∈N*）

①當(dāng)n=1時(shí)， ，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)，猜想成立，即 ，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

即對(duì)n=k+1時(shí)，猜想也成立；

結(jié)合①②可知，猜想 對(duì)一切n∈N*都成立

【解析】（1）依題意，計(jì)算f2（x）=f1[f1（x）]可求得f2（x），同理可求f3（x）；（2）由（1）可猜想 ，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用歸納推理和數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．