Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓右頂點(diǎn)，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于），直線，分別交直線于，兩點(diǎn). 求證：，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出后可得橢圓方程.

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在，計(jì)算可得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，，則，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)后可得定值.

解：（Ⅰ）因?yàn)橐栽�點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切，

所以半徑等于原點(diǎn)到直線的距離，，即.

由離心率，可知，且，得.

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）由橢圓的方程可知.

若直線的斜率不存在，則直線方程為，

所以.

則直線的方程為，直線的方程為.

令，得，.

所以兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為.

若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為,

由得，

依題意恒成立.

設(shè)，

則.

設(shè)，

由題意三點(diǎn)共線可知，

所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

所以

綜上，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.