【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為
(1)在曲線上任取一點,連接,在射線上取一點,使,求點軌跡的極坐標(biāo)方程;
(2)在曲線上任取一點,在曲線上任取一點,求的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)求出的極坐標(biāo)方程,設(shè)出點的極坐標(biāo),通過構(gòu)建出與的等量關(guān)系,從而得出點軌跡的極坐標(biāo)方程;
(2)先求出的普通方程,可以得到曲線是橢圓,然后轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程,的最小值即為橢圓上的點到直線距離的最小值,利用點到直線的距離求解最值。
解:(1)因為曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))
所以化為普通方程為,
故的極坐標(biāo)方程為,
設(shè),
則,即
,
點軌跡的極坐標(biāo)方程為
(2)因為曲線的極坐標(biāo)方程為
所以化為直角坐標(biāo)方程為.
故可化為參數(shù)方程為(為參數(shù)),
的最小值為橢圓上的點到直線距離的最小值.
設(shè),則
,
。
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,,(且),數(shù)列滿足:,且(且).
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅲ)求數(shù)列的前項和的最小值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍.
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
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【題目】一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出,需要設(shè)計各面是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住,罩內(nèi)充滿保護文物的無色氣體.已知文物近似于塔形,高1.8米,體積0.5立方米,其底部是直徑為0.9米的圓形,要求文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米,文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米,氣體每立方米1000元,則氣體費用最少為( )元
A.4500B.4000C.2880D.2380
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【題目】已知頂點為原點的拋物線C的焦點與橢圓的上焦點重合,且過點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若拋物線上不同兩點A,B作拋物線的切線,兩切線的斜率,若記AB的中點的橫坐標(biāo)為m,AB的弦長,并求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).其中.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)函數(shù)在處存在極值-1,且時,恒成立,求實數(shù)的最大整數(shù).
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【題目】如圖,在三棱柱中,平面,,,的中點為.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在點,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)為橢圓右頂點,過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于,兩點(異于),直線,分別交直線于,兩點. 求證:,兩點的縱坐標(biāo)之積為定值.
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