Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，原點(diǎn)為，橢圓的動(dòng)弦過(guò)焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸，弦的中點(diǎn)為，過(guò)且垂直于線段的直線交射線于點(diǎn)．

（1）證明：點(diǎn)在定直線上；

（2）當(dāng)最大時(shí)，求的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).

【解析】試題分析：（1）設(shè)所在直線為，聯(lián)立方程組，得到，進(jìn)而得到所在直線方程，再聯(lián)立方程組，即可得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）由（1）得點(diǎn)的坐標(biāo)為，求得向量則，利用向量的夾角公式，求解的最小值，得到此時(shí)，求得，即可求得三角形的面積．

試題解析：

（1）顯然橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)所在直線為：，且．

聯(lián)立方程組：，得：；

其中，

點(diǎn)的坐標(biāo)為所在直線方程為：．

所在的直線方程為：，

聯(lián)立方程組：，得，

故點(diǎn)在定直線上；

（2）由（1）得：由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，

則，

，

（當(dāng)且僅當(dāng)不等式取等號(hào)），

若取得最小值時(shí)，最大，此時(shí)；

；

；

．