【題目】對(duì)于函數(shù)f1(x),f2(x),h(x),如果存在實(shí)數(shù)a,b使得h(x)=af1(x)+bf2(x),那么稱h(x)為f1(x),f2(x)的生成函數(shù).
(1)給出函數(shù) ,h(x)是否為f1(x), f2(x)的生成函數(shù)?并說(shuō)明理由;
(2)設(shè) ,生成函數(shù)h(x).若不等式3h2(x)+2h(x)+t>0在x∈[2,4]上恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)設(shè) ,取a>0,b>0,生成函數(shù)h(x)圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8).若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x1 , x2且x1+x2=1.試問(wèn)是否存在最大的常數(shù)m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立?如果存在,求出這個(gè)m的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:函數(shù) ,

若h(x)是af1(x)+bf2(x)的生成函數(shù),

則有:lgx= ,

由: ,解得: ,存在實(shí)數(shù)a,b滿足題意.

∴h(x)是f1(x),f2(x)的生成函數(shù).


(2)解:由題意, ,生成函數(shù)h(x).

則h(x)=2f1(x)+f2(x)=

∴h(x)是定義域內(nèi)的增函數(shù).

若3h2(x)+2h(x)+t>0在x∈[2,4]上恒成立,

設(shè)S=log2x,則S∈[1,2],

那么有:y=﹣3S2﹣2S,

其對(duì)稱軸S=

∴﹣16≤y≤﹣5,

故得t>﹣5.


(3)解:由題意,得h(x)=af1(x)+bf2(x)=ax

則h(x)=ax ≥2

,解得:a=2,b=8.

∴h(x)=2x+ ,(x>0)

假設(shè)最大的常數(shù)m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立,

令u=h(x1)h(x2)= =

∵x1+x2=1,

∴u= ,

令t=x1x2,則t=x1x2 ,即 ,

那么:u=4t ,在 上是單調(diào)遞減,

∴u≥u( )=289.

故最大的常數(shù)m=289.


【解析】(1)根據(jù)新定義h(x)=af1(x)+bf2(x,判斷即可.(2)根據(jù)新定義生成函數(shù)h(x),化簡(jiǎn),討論其單調(diào)性,利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題求解最值,解決恒成立的問(wèn)題.(3)根據(jù)新定義生成函數(shù)h(x),利用基本不等式與生成函數(shù)h(x)圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8).求解出ab.假設(shè)最大的常數(shù)m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立,帶入化簡(jiǎn),利用換元法與基本不等式判斷其最大值是否存在即可求解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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