Question

【題目】若奇函數(shù)f（x）在其定義域R上是減函數(shù)，且對任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，則a的最大值是 ．

Answer 1

【答案】﹣3
【解析】解：不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，即f（cos2x+sinx）≤﹣f（sinx﹣a）恒成立 又∵f（x）是奇函數(shù)，﹣f（sinx﹣a）=f（﹣sinx+a）
∴不等式f（cos2x+sinx）≤f（﹣sinx+a）在R上恒成立
∵函數(shù)f（x）在其定義域R上是減函數(shù)，
∴cos2x+sinx≥﹣sinx+a，即cos2x+2sinx≥a
∵cos2x=1﹣2sin2x，∴cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1，
當(dāng)sinx=﹣1時cos2x+2sinx有最小值﹣3．
因此a≤﹣3，a的最大值是﹣3
所以答案是：﹣3
【考點精析】通過靈活運用奇偶性與單調(diào)性的綜合和二倍角的余弦公式，掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；二倍角的余弦公式：即可以解答此題．