Question

14．如圖，在底面是邊長為4的等邊三角形的直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，|AA₁|=6，D為A₁B₁的中點，
（1）A₁的坐標是（2$\sqrt{3}$，2，0）；
（2）$\overrightarrow{OD}$的坐標是（$\sqrt{3}$，3，6）；
（3）直線OD與面O₁OAA₁所成角是arcsin$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用正三棱柱求解即可相關點坐標，（2）直接求解向量．（3）利用斜率的數(shù)量積求解直線與平面所成角即可．

解答 解：底面是邊長為4的等邊三角形的直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，|AA₁|=6，D為A₁B₁的中點，
（1）A₁的坐標是：（2$\sqrt{3}$，2，0）；
（2）D（$\sqrt{3}$，3，6），$\overrightarrow{OD}$的坐標是：（$\sqrt{3}$，3，6）；
（3）$\overrightarrow{OD}$=（$\sqrt{3}$，3，6）；
平面O₁OAA₁的一個法向量為：（$\sqrt{3}$，-3，0）．
直線OD與面O₁OAA₁所成角是θ．
sinθ=$\left|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OD}}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{OD}\right|}\right|$=$\left|\frac{3-9}{\sqrt{3+9}•\sqrt{3+9+36}}\right|$=$\frac{6}{12×2}$=$\frac{1}{4}$．
θ=arcsin$\frac{1}{4}$．
故答案為：（1）（2$\sqrt{3}$，2，0）；
（2）：（$\sqrt{3}$，3，6）；
（3）：arcsin$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查空間向量的應用，直線與平面所成角的求法，考查轉化思想以及計算能力．