【題目】已知函數(shù),(其中a是常數(shù)).
(1)求過點(diǎn)與曲線相切的直線方程;
(2)是否存在的實(shí)數(shù),使得只有唯一的正數(shù)a,當(dāng)時(shí)不等式恒成立,若這樣的實(shí)數(shù)k存在,試求k,a的值;若不存在.請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在,,
【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出切線斜率,進(jìn)而可求切線方程,
(2)假設(shè)存在的正實(shí)數(shù),使得只有唯一的正數(shù),當(dāng)時(shí)不等式恒成立,轉(zhuǎn)化為,分類討論求的最小值,令其大于等于零,利用導(dǎo)數(shù)求出k,a的值即可.
解:(1)設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn),
因,則,
所以在處切線斜率為,
則在處切線方程為,
將代入切線方程得,所以,
所以切線方程為;
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得只有唯一的正數(shù),當(dāng)時(shí)不等式恒成立,即恒成立,
取,可知,
因?yàn)?/span>,,所以,令,
則,
由得.
(1)當(dāng)時(shí),
時(shí),,則在上為減函數(shù),
時(shí),,則在上為增函數(shù),
則,
即,令,
則,由,得,
時(shí),,則在區(qū)間上為減函數(shù),
時(shí),,則在區(qū)間上為增函數(shù),
因此存在唯一的正數(shù),使得,故只能.
所以,
所以,此時(shí)a只有唯一值.
(2)當(dāng)時(shí),,所以在上為增函數(shù),
所以,則,
故.
所以滿足的a不唯一
綜上,存在實(shí)數(shù),a只有唯一值,當(dāng)時(shí),恒有原式成立.
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【題目】在四棱錐中,四邊形是直角梯形,,,底面,,,,是的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)上是否存在點(diǎn),使得三棱錐的體積是三棱錐體積的.若存在,請說明點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】某地某所高中2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍,為了更好地對比該?忌纳龑W(xué)情況,統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考升學(xué)情況,得到如圖所示:則下列結(jié)論正確的( )
A.與2016年相比,2019年一本達(dá)線人數(shù)有所減少
B.與2016年相比,2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了1倍
C.與2016年相比,2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同
D.與2016年相比,2019年不上線的人數(shù)有所增加
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【題目】已知函數(shù).下列命題為真命題的是( )
A.函數(shù)是周期函數(shù)B.函數(shù)既有最大值又有最小值
C.函數(shù)的定義域是,且其圖象有對稱軸D.對于任意,單調(diào)遞減
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【題目】手機(jī)運(yùn)動計(jì)步已經(jīng)成為一種新時(shí)尚.某單位統(tǒng)計(jì)了職工一天行走步數(shù)(單位:百步),繪制出如下頻率分布直方圖:
(1)求直方圖中a的值,并由頻率分布直方圖估計(jì)該單位職工一天步行數(shù)的中位數(shù);
(2)若該單位有職工200人,試估計(jì)職工一天行走步數(shù)不大于13000的人數(shù);
(3)在(2)的條件下,該單位從行走步數(shù)大于15000的3組職工中用分層抽樣的方法選取6人參加遠(yuǎn)足拉練活動,再從6人中選取2人擔(dān)任領(lǐng)隊(duì),求這兩人均來自區(qū)間(150,170]的概率.
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【題目】已知平面直角坐標(biāo)系,直線過點(diǎn),且傾斜角為,以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的參數(shù)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與圓交于、兩點(diǎn),若,求直線的傾斜角的值.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=nan+n(n﹣1),且a5是a2和a6的等比中項(xiàng).
(Ⅰ)證明:數(shù)列{an}是等差數(shù)列并求其通項(xiàng)公式;
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【題目】如圖,某機(jī)械廠要將長,寬的長方形鐵皮進(jìn)行裁剪.已知點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上,裁剪時(shí)先將四邊形沿直線翻折到處(點(diǎn),分別落在直線下方點(diǎn),處,交邊于點(diǎn),再沿直線裁剪.
(1)當(dāng)時(shí),試判斷四邊形的形狀,并求其面積;
(2)若使裁剪得到的四邊形面積最大,請給出裁剪方案,并說明理由.
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【題目】已知A(0,1),B(0,﹣1),M(﹣1,0),動點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn),直線PA,PB的斜率之積為,動直線l與曲線C相交于不同兩點(diǎn)Q(x1,y1),R(x2,y2),其中y1>0,y2>0且滿足.
(1)求曲線C的方程;
(2)若直線l與x軸相交于一點(diǎn)N,求N點(diǎn)坐標(biāo).
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