【題目】已知A(0,1),B(0,﹣1),M(﹣1,0),動(dòng)點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn),直線PA,PB的斜率之積為,動(dòng)直線l與曲線C相交于不同兩點(diǎn)Q(x1,y1),R(x2,y2),其中y1>0,y2>0且滿足.
(1)求曲線C的方程;
(2)若直線l與x軸相交于一點(diǎn)N,求N點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)(x≠0);(2)N(﹣2,0)
【解析】
(1)由已知及求軌跡方程的步驟可得到曲線C的軌跡方程;
(2)設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣m),聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,由已知可得kMQ+kMR=0,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系代入即可解出N點(diǎn)坐標(biāo).
(1)動(dòng)點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn),直線PA,PB的斜率之積為,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y),x≠0;
則有:kPAkPB,化簡(jiǎn)可得:,x≠0.
故曲線C的方程為:(x≠0);
(2)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,0).依題意,直線l的斜率存在且不為0,設(shè)為k(k≠0),
則直線l的方程y=k(x﹣m),將y=k(x﹣m)代入方程y2=1(x≠0).
得(2k2+1)x2﹣4k2mx+2(k2m2﹣1)=0.
則△=(﹣4k2m)2﹣8(2k2+1)(k2m2﹣1)=8(2k2﹣k2m2+1)>0,
動(dòng)直線與曲線C相交于不同兩點(diǎn)Q(x1,y1),R(x2,y2),其中y1>0,y2>0,
x1+x2,x1x2,且滿足,即,
如圖,
,,
則,故kMQ+kMR=0,
即,
化簡(jiǎn)得:,
即,整理得m+2=0,即m=﹣2.
故點(diǎn)N的坐標(biāo)為(﹣2,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(其中a是常數(shù)).
(1)求過點(diǎn)與曲線相切的直線方程;
(2)是否存在的實(shí)數(shù),使得只有唯一的正數(shù)a,當(dāng)時(shí)不等式恒成立,若這樣的實(shí)數(shù)k存在,試求k,a的值;若不存在.請(qǐng)說明理由.
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的方程為.
(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的極坐標(biāo)方程;
(2)在(1)的條件下,直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)曲線與直線的交于點(diǎn)和點(diǎn),曲線與直線的交于點(diǎn)和點(diǎn),求的面積.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(2x)+2sin()sin(x).
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱軸方程,并求函數(shù)f(x)在區(qū)間[,]上的最大值和最小值.
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【題目】過點(diǎn)P(3,﹣4)作圓(x﹣1)2+y2=2的切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB的方程為( )
A.x+2y﹣2=0B.x﹣2y﹣1=0C.x﹣2y﹣2=0D.x+2y+2=0
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【題目】如圖,在四棱錐P–ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點(diǎn),點(diǎn)F在PC上,且.
(Ⅰ)求證:CD⊥平面PAD;
(Ⅱ)求二面角F–AE–P的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)G在PB上,且.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi),說明理由.
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【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),是的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證;
(Ⅱ)是否存在正整數(shù),使得對(duì)一切恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,F1(﹣2,0),F2(2,0)是橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn),M是橢圓C上的一點(diǎn),當(dāng)MF1⊥F1F2時(shí),有|MF2|=3|MF1|.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)P(0,3)作直線l與軌跡C交于不同兩點(diǎn)A,B,使△OAB的面積為(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),問同樣的直線l共有幾條?并說明理由.
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【題目】吸煙有害健康,小明為了幫助爸爸戒煙,在爸爸包里放一個(gè)小盒子,里面隨機(jī)擺放三支香煙和三支跟香煙外形完全一樣的“戒煙口香糖”,并且和爸爸約定,每次想吸煙時(shí),從盒子里任取一支,若取到口香糖則吃一支口香糖,不吸煙;若取到香煙,則吸一支煙,不吃口香糖,假設(shè)每次香煙和口香糖被取到的可能性相同,則“口香糖吃完時(shí)還剩2支香煙”的概率為( )
A.B.
C.D.
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