Question

（1）證明：|a+b|+|a-b|≥2|a|，并說明等號(hào)成立的條件；
（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-2|+|x-3|）對(duì)任意的實(shí)數(shù)a（a≠0）和b恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用絕對(duì)值不等式的幾何意義即可證得：|a+b|+|a-b|≥2|a|，并能求得等號(hào)成立的條件；
（2）由（1）得

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2，于是|x-2|+|x-3|≤2恒成立，通過對(duì)自變量x范圍的分類討論，去掉式中的絕對(duì)值符號(hào)，再解相應(yīng)的不等式，最后取并即可．

解答： （1）證明：|a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|=2|a|，…3分
當(dāng)且僅當(dāng)（a-b）（a+b）≥0時(shí)等號(hào)成立，即|a|≥|b|…5分
（2）解：由（1）得

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2，即

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值為2，
于是|x-2|+|x-3|≤2…6分
當(dāng)x＜2時(shí)，原不等式化為-（x-2）-（x-3）≤2，解得x≥

3

2

，
所以x的取值范圍是

3

2

≤x＜2；…7分
當(dāng)2≤x≤3時(shí)，原不等式化為（x-2）-（x-3）≤2，即-5≤2恒成立，
所以x的取值范圍是2≤x≤3；…8分
當(dāng)x＞3時(shí)，原不等式化為（x-2）+（x-3）≤2，解得x≤

7

2

，
所以x的取值范圍是3＜x≤

7

2

；…9分
綜上所述，x的取值范圍是

3

2

≤x≤

7

2

…10分

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．