Question

已知函數(shù)f（x）=

1，x是有理數(shù) 0，x是無(wú)理數(shù)

，下列命題是真命題的是

 

（只填命題序號(hào)）．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；②對(duì)任意x∈R，f（x+

2

）=f（x）；
③對(duì)任意x∈R，f（x+2）=f（x）；
④對(duì)任意x，y∈R，f（x+y）=

1

2

（f（x）+f（x））；
⑤若存在x，y∈R，使得f（x+y）=f（x）+f（y），則x，y都為無(wú)理數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：由題意討論x，y是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，從而確定5個(gè)命題的真假．

解答： 解：∵當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)，-x也是有理數(shù)，
∴f（-x）=f（x）=1；
又∵當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)，-x也是無(wú)理數(shù)，
∴f（-x）=f（x）=0；
故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故①正確；
取x=0，則f（0）=1，f（

2

）=0；故②不正確；
當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)，x+2也是有理數(shù)，
當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)，x+2也是無(wú)理數(shù)，
故對(duì)任意x∈R，f（x+2）=f（x）成立，故③正確；
取x=0，y=

2

，則f（x+y）=0，

1

2

（f（x）+f（x））=

1

2

，故④不正確；
若x，y都是有理數(shù)，則f（x+y）=1，f（x）+f（y）=2；
若x，y是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，則f（x+y）=0，f（x）+f（y）=1；
若x，y都為無(wú)理數(shù)，則f（x+y）=f（x）+f（y）或f（x+y）=1，f（x）+f（y）=0；
故⑤正確；
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)分段函數(shù)的掌握及命題的真假性的判斷，屬于中檔題．