Question

函數(shù)f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

）•sin2x在區(qū)間[-3，3]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意化求函數(shù)f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

）•sin2x在區(qū)間[-3，3]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與sin2x在[-3，3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而求解．

解答： 解：令g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

，
g′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹²，
當(dāng)x=0時(shí)，g′（0）=1＞0；
當(dāng)x=-1時(shí)，g′（-1）=2013＞0；
當(dāng)x≠0且x≠-1時(shí)，
g′（x）=

1-(-x)2013

1+x

=

1+x2013

1+x

＞0；
故g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

在R上是增函數(shù)，
又∵g（-1）=1-1-

1

2

-

1

3

-

1

4

…-

1

2013

＜0；
g（0）=1＞0；
故g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

在（-1，0）上有零點(diǎn)，
而sin2x在[-3，3]上的零點(diǎn)為0，±

π

2

；
故函數(shù)f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

）•sin2x在區(qū)間[-3，3]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4；
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷，屬于基礎(chǔ)題．