Question

設(shè)f（x）=cos2x+sinx
（1）求f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若f（B）=1，b=1，c=

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)的最值

專題：解三角形

分析：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=-2（sinx-

1

4

）²+

9

8

，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得；（2）由（1）結(jié)合題意可得B=

π

6

，由余弦定理可求得得a=1或a=2，代入三角形的面積S=

1

2

acsinB計(jì)算可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos2x+sinx
=1-2sin²x+sinx
=-2（sinx-

1

4

）²+

9

8

∴當(dāng)sinx=

1

4

時，函數(shù)f（x）取最大值

9

8

，
當(dāng)sinx=-1時，函數(shù)f（x）取最大-2，
∴f（x）的值域?yàn)閇-2，

9

8

]；
（2）由（1）知f（B）=-2sin²B+sinB+1=1，
可得2sinB（sinB-

1

2

）=0，
∵B為△的內(nèi)角，∴0＜sinB＜1，
∴sinB-

1

2

=0，即sinB=

1

2

，
又∵b＜c，∴B＜C，∴B為銳角，可得B=

π

6

，
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
代入數(shù)據(jù)可得a²-3a+2=0，解得a=1或a=2，
∴△ABC的面積S=

1

2

acsinB=

3

4

或

3

2

點(diǎn)評：本題考查正余弦定理和三角函數(shù)的最值，屬中檔題．