Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（-1，0）．
（1）求向量

b

+

c

的模的最大值；
（2）設(shè)α=

π

3

，且

a

•（

b

+

c

）=

1

2

，求sinβ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量的模

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的性質(zhì)、余弦函數(shù)的單調(diào)性有界性即可得出；
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算、兩角和差的正弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．

解答： 解：（1）∵

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（-1，0）．
∴|

b

+

c

|=|（cosβ-1，sinβ）|=

(cosβ-1)2+sin2β

=

2-2cosβ

≤

2-2×(-1)

=2，當(dāng)cosβ=-1時(shí)取等號(hào)．
∴向量

b

+

c

的模的最大值是2．
（2）∵α=

π

3

，∴

a

=(

1

2

，

3

2

)．
又

b

+

c

=（cosβ-1，sinβ）．
∴

1

2

=

a

•（

b

+

c

）=

1

2

(cosβ-1)+

3

2

sinβ，
化為

3

sinβ+cosβ=2，
∴2sin(β+

π

6

)=2，即sin(β+

π

6

)=1．
∴cos(β+

π

6

)=0．
∴sinβ=sin[(β+

π

6

)-

π

6

]=sin(β+

π

6

)cos

π

6

-cos(β+

π

6

)sin

π

6

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的性質(zhì)、余弦函數(shù)的單調(diào)性有界性、兩角和差的正弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了轉(zhuǎn)化方法和計(jì)算能力，屬于中檔題．