Question

某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式y(tǒng)=f（x）=

a

x-2

+b（x-5）²，其中2＜x＜5，a，b為常數(shù)，已知銷售價格為4元/千克時，每日可銷售出該商品5千克；銷售價格為4.5元/千克時，每日可銷售出該商品2.35千克．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若該商品的成本為2元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤f（x）最大．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由銷售價格為4元/千克時，每日可銷售出該商品5千克；銷售價格為4.5元/千克時，每日可銷售出該商品2.35千克，建立方程，即可求出f（x）的解析式；
（2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點，從而得出最大值對應(yīng)的x值．

解答： 解：（1）由題意，

f(4)= a 2 +3=5 f(4.5)= 2a 5 + b 4 =2.35

，解得a=4，b=3，故f（x）=

4

x-2

+3（x-5）²；…（4分）
（ II）商場每日銷售該商品所獲得的利潤為y=g（x）=（x-2）f（x）=4+3（x-2）（x-5）（2＜x＜5）²…（6分）
y′=9（x-3）（x-5）…（9分）
列表得x，y，y′的變化情況：

x	（2，3）	3	（3，5）
y′	+	0	-
y	↗	極大值16	↘

（11分）
由上表可得，x=3是函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，5）內(nèi)的極大值點，也是最大值點．…（12分）
所以，當(dāng)x=3時，函數(shù)f（x）取得最大值，且最大值等于16．當(dāng)銷售價格為3元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．…（14分）

點評：本題函數(shù)解析式的建立比較容易，考查的重點是利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，屬于中檔題．