Question

【題目】某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過(guò)a m，房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m2，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5800元，如果墻高為3 m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用．當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？

Answer 1

【答案】若a≥4，當(dāng)x＝4時(shí)，有最小值13000元；

若a<4，當(dāng)x＝a時(shí)，有最小值為900（a＋）＋5800元

【解析】

試題分析：已知中地面面積為12m2，我們可得xy=12有，根據(jù)房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m2，屋頂?shù)脑靸r(jià)共5200元，結(jié)合墻高為3m，我們可以構(gòu)造房屋總造價(jià)的函數(shù)解析式，利用基本不等式或?qū)��?shù)即可求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到答案

試題解析：用長(zhǎng)度x表示出造價(jià)，利用基本不等式求最值即可，還應(yīng)注意定義域0<x≤a，函數(shù)取最小值時(shí)的x是否在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)，不能用不等式求最值，可以考慮單調(diào)性．

試題解析：由題意可得，造價(jià)y＝3（2x×150＋×400）＋5800＝900（x＋）＋5800（0<x≤a）．

則y＝900（x＋）＋5800≥900×2＋5800

＝13000（當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝4時(shí)取等號(hào)）．

若a≥4，x＝4時(shí)，有最小值13000．

若a<4，任取x1、x2∈（0，a]且x1<x2，

y1－y2＝900（x1＋）＋5800－900（x2＋）－5800

＝900[（x1－x2）＋16（－）]

＝．

因?yàn)?<x1<x2≤a，所以x1－x2<0，x1x2<a2<16，

所以y1－y2>0，所以y＝900（x＋）＋5800在（0，a]上是減函數(shù)，

所以當(dāng)x＝a時(shí)，y有最小值900（a＋）＋5800．

綜上，若a≥4，當(dāng)x＝4時(shí)，有最小值13000元；若a<4，當(dāng)x＝a時(shí)，有最小值為900（a＋）＋5800元．