Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+|x-a|（a∈R）．
（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若0＜a＜1，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值；
（3）求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，存在x₀，恒有f（x₀）≠0，并求出符合該特征的x₀的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和最值之間的關(guān)系，即可求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值；
（3）將不等式恒成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解不等式即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=

ax3-x+a ，x＜a ax3+x-a ，x≥a

，
令g（x）=ax³-x+a（x＜a），h（x）=ax³+x-a（x＞a），g'（x）=3ax²-1，h'（x）=3ax²+1，
無(wú)論a＞0還是a＜0均不符合要求；
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|x|滿(mǎn)足條件f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
故存在a=0，滿(mǎn)足條件．
（2）若0＜a＜1，f（x）=

ax3-x+a ，x＜a ax3+x-a ，x≥a

，
當(dāng)x＜a時(shí)，f'（x）=3ax²-1，f′(x)=3ax2-1=0⇒x=±

1 3a

，
當(dāng)x＞a時(shí)，f'（x）=3ax²+1，
①當(dāng)0＜a≤

1

3

，

1 3a

≥1，此時(shí)f（x）在[-1，a]上單調(diào)減，在[a，1]上單調(diào)
增，則在[-1，1]上f（x）_max=f（-1）=f（1）=1；
②當(dāng)

1

3

＜a≤

3	1 3

，此時(shí)

1 3a

≥a，此時(shí)f（x）在[-1，-

1 3a

]上單調(diào)增，
在[-

1 3a

，a]上單調(diào)減，在[a，1]上單調(diào)增，
由于f(-

1 3a

)＞f(-1)=f(1)，
則在[-1，1]上f(x)max=f(-

1 3a

)=a+

2

3

1 3a

；
③當(dāng)

3	1 3

＜a＜1，此時(shí)

1 3a

＜a，則此時(shí)f（x）在[-1，-

1 3a

]上單調(diào)增，
在[-

1 3a

，

1 3a

]上單調(diào)減，在[-

1 3a

，a]上單調(diào)增，在[a，1]上單調(diào)增，
則在[-1，1]上f(x)max=f(-

1 3a

)=a+

2

3

1 3a

；
綜合①②③有      當(dāng)0＜a≤

1

3

時(shí)，f（x）_max=1；
當(dāng)

1

3

＜a＜1時(shí)，f(x)max=a+

2

3

1 3a

=a+

2 3a

9a

．
（3）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|x|，方程f（x）=|x|=0只有0根；
②當(dāng)a＞0時(shí)，方程f（x）=ax³+|x-a|=0沒(méi)有0根和正根，
當(dāng)a＞0，x＜0時(shí)，f（x）=ax³-x+a，
由方程f（x）=ax³-x+a=0得a=

x

x3+1

，
則

x＜0 a= x x3+1 ＞0

⇒x3+1＜0，得x＜-1；
③當(dāng)a＜0時(shí)，方程f（x）=ax³+|x-a|=0沒(méi)有0根和負(fù)根，
當(dāng)a＜0，x＞0時(shí)，f（x）=ax³+x-a，
由方程f（x）=ax³+x-a=0得a=-

x

x3-1

，
則

x＞0 a=- x x3-1 ＜0

⇒x3-1＞0，得x＞1；
綜上可知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，存在x₀∈[-1，0）∪（0，1]，恒有f（x₀）≠0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，要求熟練掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．有一定的難度．