Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

3

2

-

3

sin²ωx-sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為

π

4

．
（Ⅰ）求f（x）在[-

π

2

，0]上的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x₀）=

3

5

，且x₀∈[0，

π

3

]，求sin2x₀的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換可求得f（x）=cos（2x+

π

6

），利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）在[-

π

2

，0]上的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由f（x₀）=

3

5

，x₀∈[0，

π

3

]，可求得2x₀+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，cos（2x₀+

π

6

）=

3

5

，sin（2x₀+

π

6

）=

4

5

，利用兩角差的正弦即可求得答案．

解答： （Ⅰ）解：f（x）=

3

2

-

3

2

（1-cos2ωx）-

1

2

sin2ωx…1
=

3

2

cos2ωx-

1

2

sin2ωx=cos（2ωx+

π

6

）…3
依題意，得

1

4

T=

π

4

，故T=π．
由T=

2π

ω

=π，得ω=1，故f（x）=cos（2x+

π

6

）…5
由x∈[-

π

2

，0]，得（2x+

π

6

）∈[-

5π

6

，

π

6

]…6
當x∈[-

π

2

，-

π

12

]，即（2x+

π

6

）∈[-

5π

6

，0）時，f（x）單調(diào)遞增；
當x∈[-

π

12

，0]，即（2x+

π

6

）∈[0，

π

6

）時，f（x）單調(diào)遞減；…8
（Ⅱ）∵f（x₀）=

3

5

，且x₀∈[0，

π

3

]，
∴cos（2x₀+

π

6

）=

3

5

…9
又2x₀+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x₀+

π

6

）=

4

5

．
∴sin2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=sin（2x₀+

π

6

）cos

π

6

-cos（2x₀+

π

6

）sin

π

6

…12
=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

…13

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查余弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系的應(yīng)用及兩角差的正弦，突出考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．