Question

已知橢圓

x2

2

+y²=1，O為坐標原點，橢圓的右準線與x軸的交點是A．
（Ⅰ）點P在已知橢圓上，動點Q滿足

OQ

=

OA

+

OP

，求動點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）過橢圓右焦點F的直線與橢圓交于點M，N，求△AMN的面積的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）確定A的坐標，利用

OQ

=

OA

+

OP

，可得坐標之間的關(guān)系，即可求動點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程是x=my+1，與

x2

2

+y2=1聯(lián)立，利用弦長公式求出|MN|，求出點A（2，0）到直線MN的距離，可得△AMN的面積，利用基本不等式，即可求△AMN的面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由橢圓

x2

2

+y²=1可得點A（2，0）．
設(shè)Q（x，y），P（x₁，y₁），則

OP

=

OA

-

OQ

=(2-x，-y)=(x1，y1)，
又因為點P在已知橢圓上，故

(x-2)2

2

+y2=1為動點Q的軌跡方程．…（5分）
（Ⅱ）橢圓的右焦點F（1，0），設(shè)直線MN的方程是x=my+1，與

x2

2

+y2=1聯(lián)立，可得（m²+2）y²+2my-1=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，于是|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(m2+1)

|y1-y2|=

2 2 (m2+1)

m2+2

．…（7分）
點A（2，0）到直線MN的距離d=

1

m2+1

，
于是△AMN的面積S=

1

2

|MN|d=

2(m2+1)

m2+2

．…（10分）
S=

2(m2+1)

m2+2

=

2 (m2+1)+ 1 m2+1 +2

≤

2 2 (m2+1) 1 m2+1 +2

=

2

2

，當且僅當m2+1=

1

m2+1

，即m=0時取到等號．
故△AMN的面積的最大值是

2

2

．…（13分）

點評：代入法求軌跡方程關(guān)鍵是確定坐標之間的關(guān)系，直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題常常需要聯(lián)立方程組，利用韋達定理．