Question

已知函數(shù)f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率為4-c．
（Ⅰ）確定a，b的值；
（Ⅱ）若c=3，判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若f（x）有極值，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率為4-c，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，可得a，b的值；
（Ⅱ）將c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，進(jìn)而可得f（x）在定義域R為均增函數(shù)；
（Ⅲ）結(jié)合基本不等式，分c≤4時(shí)和c＞4時(shí)兩種情況討論f（x）極值的存在性，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）
∴f′（x）=2ae^2x+2be^-2x-c，
由f′（x）為偶函數(shù)，可得2（a-b）（e^2x-e^-2x）=0，
即a=b，
又∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率為4-c，
即f′（0）=2a+2b-c=4-c，
故a=b=1；
（Ⅱ）當(dāng)c=3時(shí)，f′（x）=2e^2x+2e^-2x-3≥2

2e2x•2e-2x

-3=1＞0恒成立，
故f（x）在定義域R為均增函數(shù)；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e^2x+2e^-2x-c，
而2e^2x+2e^-2x≥2

2e2x•2e-2x

=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)c≤4時(shí)，f′（x）≥0恒成立，故f（x）無極值；
當(dāng)c＞4時(shí)，令t=e^2x，方程2t+

2

t

-c=0的兩根均為正，
即f′（x）=0有兩個(gè)根x₁，x₂，
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（-∞x₁）∪（x₂，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
故當(dāng)x=x₁，或x=x₂時(shí)，f（x）有極值，
綜上，若f（x）有極值，c的取值范圍為（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．