Question

設(shè)正整數(shù)m，n滿足1＜n≤m，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂，F(xiàn)₃，…，F(xiàn)_k為集合{1，2，3，…，m}的n元子集，且1≤i＜j≤k．
（1）若?a，b∈F_k，滿足|a-b|＞1．
（i）求證：n≤

m+1

2

； 
（ii）求滿足條件的集合F_k的個(gè)數(shù)；
（2）若F_i∩F_j中至多有一個(gè)元素，求證：k≤

m(m-1)

n(n-1)

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,排列組合

分析：（1）（i）設(shè)F_k={a₁，a₂，…，a_n}，其中1≤a₁＜a₂＜…＜a_n≤m，可得a₂-a₁≥2，a₃-a₂≥2，…，a_n-a_n-1≥2，累加即可得出結(jié)論；
（ii）從m個(gè)元素中，任取n個(gè)元素，將剩下的m-n個(gè)元素排序，共形成m-n+1空檔，將n個(gè)元素放回m-n+1個(gè)空檔中，可得結(jié)論；
（2）說明F_i與F_j（i，j=1，2，3，…，n）沒有相同的二元子集，所有二元子集個(gè)數(shù)為k

C

2 n

且互異，{1，2，3，…，m}中的所有二元子集個(gè)數(shù)為

C

2 m

，從而k

C

2 n

≤

C

2 m

，即可得出結(jié)論．

解答： （1）（i）證明：設(shè)F_k={a₁，a₂，…，a_n}，其中1≤a₁＜a₂＜…＜a_n≤m，
則a₂-a₁≥2，a₃-a₂≥2，…，a_n-a_n-1≥2，
累加得m-1≥a_n-a₁≥2（n-1），
即n≤

m+1

2

；　　　　　　　　　　　　　　　…（3分）
（ii）解：從m個(gè)元素中，任取n個(gè)元素，由題設(shè)可知，這n個(gè)元素任意兩個(gè)元素都不是相鄰的自然數(shù)，將剩下的m-n個(gè)元素排序，共形成m-n+1空檔，將n個(gè)元素放回m-n+1個(gè)空檔中，共有

C

n m-n+1

放法，所以滿足條件的n元子集共有

C

n m-n+1

個(gè)；…（6分）
（2）證明：集合F_i（i=1，2，3，…，k）是n元集合，F(xiàn)_i與F_j（i，j=1，2，3，…，n）沒有相同的二元子集，否則假如有相同的二元子集，則F_i與F_j至少有兩個(gè)相同的元素，與題設(shè)矛盾，
又因?yàn)镕_i（i=1，2，3，…，n）的所有二元子集個(gè)數(shù)為k

C

2 n

且互異，{1，2，3，…，m}中的所有二元子集個(gè)數(shù)為

C

2 m

，從而k

C

2 n

≤

C

2 m

，即有k≤

m(m-1)

n(n-1)

．　　…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查組合知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．