Question

某工廠隨機(jī)抽取處12件A型產(chǎn)品和18件B型產(chǎn)品，將這30件產(chǎn)品的尺寸編成如圖所示的莖葉圖（單位：cm），若尺寸在175cm以上（包括175cm）的產(chǎn)品定義為“標(biāo)準(zhǔn)件”，尺寸在175cm以下（不包括175cm）的產(chǎn)品定義為“非標(biāo)準(zhǔn)件”
（1）如果用分層抽樣的方法從這30件“標(biāo)準(zhǔn)件”和“非標(biāo)準(zhǔn)件”中選取5件，再從這5件中選取2件，那么至少有一件是“標(biāo)準(zhǔn)件”的概率是多少？
（2）若從所有“標(biāo)準(zhǔn)件”中每次隨機(jī)抽取1件，取后不放回，抽到“A型標(biāo)準(zhǔn)件”就結(jié)束，且抽取次數(shù)不能超過3次，用X表示抽取結(jié)束時(shí)抽到“B型標(biāo)準(zhǔn)件”的個(gè)數(shù)，試寫出X的分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）按分層抽樣抽取5件，這5件中，“標(biāo)準(zhǔn)件”的個(gè)數(shù)為5×

12

30

=2，“非標(biāo)準(zhǔn)件”的個(gè)數(shù)為5×

18

30

=3，利用對立事件的概率公式，可求至少有一件是“標(biāo)準(zhǔn)件”的概率；
（2）X可能取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，可計(jì)算出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）讀取莖葉圖中數(shù)據(jù)，“標(biāo)準(zhǔn)件”的個(gè)數(shù)為12，“非標(biāo)準(zhǔn)件”的個(gè)數(shù)為18
按分層抽樣抽取5件，這5件中，“標(biāo)準(zhǔn)件”的個(gè)數(shù)為5×

12

30

=2，“非標(biāo)準(zhǔn)件”的個(gè)數(shù)為5×

18

30

=3
設(shè)事件A=“從2件標(biāo)準(zhǔn)件和3件非標(biāo)準(zhǔn)件中選2件，至少有一件是標(biāo)準(zhǔn)件”
則P（A）=1-P（

.

A

）=1-

C 2 3

C 2 5

=

7

10

答：至少有一件是“標(biāo)準(zhǔn)件”的概率是

7

10

…（4分）
（2）易知X可能取值為0，1，2，3．事件“X=0”=“A”；“X=1”=“BA”；“X=2”=“BBA”；“X=3”=“BBB”（沒抽到A，也需強(qiáng)制性結(jié)束）
P（X=0）=

A 0 4 C 1 8

A 1 12

=

2

3

；P（X=1）=

A 1 4 C 1 8

A 2 12

=

8

33

；P（X=2）=

A 2 4 C 1 8

A 3 12

=

4

55

； P（X=3）=

A 3 4 C 0 8

A 3 12

=

1

55

故X的分布列如下…（10分）

X	0	1	2	3
P	2 3	8 33	4 55	1 55

∴數(shù)學(xué)期望E（X）=0×

2

3

+1×

8

33

+2×

4

55

+3×

1

55

=

73

165

…（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查分層抽樣、概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理、推理論證、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)．