Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（Ⅱ）若，且對(duì)任意恒成立，求的最大值；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（II）3；（Ⅲ）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）求出的值，可得切線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）對(duì)任意恒成立，等價(jià)于對(duì)任意恒成立，，利用導(dǎo)數(shù)求得，從而可求整數(shù)的最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，是上的增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合，化簡(jiǎn)即可得結(jié)論.

（Ⅰ），

函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，對(duì)任意恒成立，

即對(duì)任意恒成立．

令，則，

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

，

方程在上存在唯一實(shí)根，且滿(mǎn)足．

當(dāng)時(shí)，，即，

當(dāng)時(shí)，，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

，

，

故整數(shù)的最大值是3．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，是上的增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，．

即．

整理，得．

．

即．

即．

．