Question

在平面直角坐標系中，A（-1，0），B（1，0），若曲線C上存在一點P，使∠APB為鈍角，則稱曲線上有鈍點，下列曲線中“有鈍點的曲線”是

 

（寫出所有滿足條件的編號）
①x²=4y；
②

x2

3

+

y2

2

=1；
③x²-y²=1；
④（x-2）²+（y-2）²=4；
⑤3x+4y=4．

Answer 1

考點：曲線與方程

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：在平面直角坐標系中，A（-1，0），B（1，0），若曲線C上存在一點P，使∠APB為鈍角，則P在圓：x²+y²=1的內部，對選項進行驗證，即可得出結論．

解答： 解：在平面直角坐標系中，A（-1，0），B（1，0），若曲線C上存在一點P，使∠APB為鈍角，則P在圓：x²+y²=1的內部，
①x²=4y，顯然在圓：x²+y²=1的內部存在點P，故是“有鈍點的曲線”；
②圓：x²+y²=1在

x2

3

+

y2

2

=1的內部，故不存在一點P，使∠APB為鈍角，故不是“有鈍點的曲線”；
③x²-y²=1與圓：x²+y²=1相交于A（-1，0），B（1，0），其余點在圓的外部，故不存在一點P，使∠APB為鈍角，故不是“有鈍點的曲線”；
④（x-2）²+（y-2）²=4與圓：x²+y²=1相交，故存在一點P，使∠APB為鈍角，故是“有鈍點的曲線”；
⑤圓心到直線的距離為

4

5

＜1，所以3x+4y=4與圓：x²+y²=1相交，故存在一點P，使∠APB為鈍角，故是“有鈍點的曲線”．
故答案為：①④⑤．

點評：本題考查曲線與方程，考查新定義，若曲線C上存在一點P，使∠APB為鈍角，則P在圓：x²+y²=1的內部，是解題的關鍵．