Question

（理）在等比數(shù)列{a_n}中，a₁＞0，n∈N^*，且a₅-a₄=8，又a₂、a₈的等比中項(xiàng)為16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₄a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，是否存在正整數(shù)k，使得

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＞k對任意n＞1且n∈N^*恒成立．若存在，求出正整數(shù)k的值或范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由已知a₂、a₈的等比中項(xiàng)為16得到a₅=16，結(jié)合a₅-a₄=8求得a₄，則等比數(shù)列的公比可求，通項(xiàng)公式可求；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=log₄a_n，化簡后得到數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列且求得公差，利用等差數(shù)列的求和公式求和后取倒數(shù)，得到

1

Sn

=

4

n-1

-

4

n

，代入

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

放縮后求其最小值，則答案可求．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₂、a₈的等比中項(xiàng)為16，得a₅=16，
又a₅-a₄=8，則a₄=8．
∴q=

a5

a4

=

16

8

=2．
∴a_n=a4•qn-4=8×2n-4=2^n-1；
（2）∵b_n=log₄a_n=log₄2^n-1=

n-1

2

，
∴數(shù)列{b_n}為以0為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(n-1)

4

．
∵

1

Sn

=

4

n(n-1)

=

4

n-1

-

4

n

，
∴

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=4(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)=4(1-

1

n

)≥4(1-

1

2

)=2，
即k＜2，
∴正整數(shù)k的值為1．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了利用放縮法證明不等式，是中檔題．