Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+2|x+1|+1．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜6的解集；
（Ⅱ）若直線y=（

1

3

）^a（a∈R）與函數(shù)y=f（x）的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過對自變量x取值范圍的分類討論，去掉不等式中的絕對值符號，解相應(yīng)的不等式，最后取其并集即可；
（Ⅱ）由f(x)=

3x+2，x＞1 x+4，-1≤x≤1 -3x，x＜-1

可求得函數(shù)f（x）的值域為[3，+∞），利用直線y=(

1

3

)a（a∈R）與函數(shù)y=f（x）的圖象恒有公共點(diǎn)，即可求得實(shí)數(shù)a的取值區(qū)間．

解答： （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
解：（1）因為f(x)=

3x+2，x＞1 x+4，-1≤x≤1 -3x，x＜-1

…（3分）
所以當(dāng)x＞1時，由f(x)＜6?3x+2＜6?x＜

4

3

，
又x＞1，所以1＜x＜

4

3

；
當(dāng)-1≤x≤1時，f（x）＜6?x+4＜6?x＜2，
又-1≤x≤1，所以-1≤x≤1；
當(dāng)x＜-1時，f（x）＜6?-3x＜6?x＞-2，
又x＜-1，所以-2＜x＜-1
綜上，所求的解集為{x|-2＜x＜

4

3

}．…（6分）
（2）結(jié)合（1）知f(x)=

3x+2，x＞1 x+4，-1≤x≤1 -3x，x＜-1

知，
當(dāng)x＞1時，f（x）=3x+2＞5；
當(dāng)-1≤x≤1時，f（x）=x+4∈[3，5]；
當(dāng)x＜-1時，f（x）=-3x＞3；
∴函數(shù)f（x）的值域為[3，+∞）…（7分）
又直線y=(

1

3

)a（a∈R）與函數(shù)y=f（x）的圖象恒有公共點(diǎn)，
所以(

1

3

)a≥3，∴a≤-1
即a的取值區(qū)間是（-∞，-1]．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查分類討論思想與綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．