Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD，PB⊥AC，Q是線段PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC：
（Ⅱ）求證：AQ∥平面PC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及PA⊥平面ABCD推斷出PA⊥AC，PA⊥AB，進(jìn)而利用PB⊥AC，推斷出AC⊥平面PAB，利用線面垂直性質(zhì)可知AC⊥AB，再根據(jù)PA⊥AB，PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A推斷出AB⊥平面PAC．
（Ⅱ）取PC中點(diǎn)E，連結(jié)QE，ED，推斷出QE為中位線，判讀出QE∥BC，BC=2AD，進(jìn)而可知QE∥AD，QE=AD，判斷出四邊形AQED是平行四邊形，進(jìn)而可推斷出AQ∥DE，最后根據(jù)線面平行的判定定理證明出AQ∥平面PCD．

解答： 證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，AC，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，
∵PB⊥AC，AP⊥AC，PA，PB?平面PAB，PA∩PB=P，
∴AC⊥平面PAB，
∵AB?平面PAB，
∴AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A；
∴AB⊥平面PAC．
（Ⅱ）取PC中點(diǎn)E，連結(jié)QE，ED，
∵Q是線段PB的中點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，
∴QE∥BC，BC=2AD，
∴QE∥AD，QE=AD，
∴四邊形AQED是平行四邊形，
∴AQ∥DE，
∵AQ∥ED，ED?平面PCD，
∴AQ∥平面PCD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定定理的應(yīng)用，線面垂直的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)立體幾何基礎(chǔ)定理和性質(zhì)的記憶和運(yùn)用．