Question

設函數f（x）=x²+ax-2lnx，常數a∈R
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）設-3＜a＜3，記f（x）的極小值為f_min（x），若不等式b-2ln2＜f（x）_min＜b+4-2ln2恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）寫出函數f（x）的定義域，求出f'（x），通過解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得單調區(qū)間；
（2）不等式b-2ln2＜f（x）_min＜b+4-2ln2恒成立，只要求出f（x）的最小值，從而求出實數b的取值范圍；

解答： 解：（1）f′（x）=

2x2+ax-2

x

（x＞0，a∈R），
注意到-a-

a2+16

＜0＜-a+

a2+16

      
則f（x）在（0，

-a+ a2+16

4

）單調遞減，（

-a+ a2+16

4

，+∞）單調遞增
（2）設極小值點為x=t，則f′（t）=0
∴2t²+at-2=0
∴a=

2-2t2

t

，
根據|a|＜3
∴

|2-2t2|

|t|

＜3
∴（2t²-2）²-（3t）²＜0（t＞0）
∴t∈（

1

2

，2）
此時f_極小（x）=f（t）=t²+at-2lnt=t²+t?

2-2t2

t

-2lnt=2-t²-2lnt，t∈（

1

2

，2）
設g（t）=2-t²-2lnt，t∈（

1

2

，2）
∴g′（t）=-

2(t2+1)

t

＜0
∴g（t）在（

1

2

，2）單調遞減
∴g（2）＜g（t）＜g（

1

2

）
∴g（t）∈（-2-2ln2，

7

4

+2ln2）
∴-2-2ln2＜f_極小（x）＜

7

4

+2ln2
故“b-2ln2≤-2-2ln2”且“

7

4

+2ln2≤b+4+2ln2”
∴b∈[-

9

4

，-2]

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、零點及不等式的證明等知識，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力、推理論證能力，本題綜合性強，能力要求較高．