Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

2

-

1

2x+1

（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）在[1，2]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可證明函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；
（3）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）在[1，2]上的值域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
∵f（x）=

1

2

-

1

2x+1

=

2x+1-2

2(2x+1)

=

2x-1

2(2x+1)

，
則f（-x）=

2-x-1

2(2-x+1)

=-

2x-1

2(2x-1)

=-f（x），
即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）∵y=2^x+1是增函數(shù)，
∴y=-

1

2x+1

是增函數(shù)，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；
（3）∵f（x）=

1

2

-

1

2x+1

在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[1，2]上也是增函數(shù)，
即f（1）≤f（x）≤f（2），
即

1

6

≤f（x）≤

3

10

，
即此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)閇

1

6

，

3

10

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性，單調(diào)性以及值域的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．