Question

【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）若，求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）普通方程為.直角坐標(biāo)方程為;（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)參普互化的公式，以及極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化的公式得到結(jié)果；（Ⅱ）通過分析臨界情況，即直線和圓的相切的情況，進(jìn)而得到滿足有2個(gè)交點(diǎn)是直線的傾斜角的范圍.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，直線的參數(shù)方程為.

所以其普通方程為.

對(duì)于曲線，由，得，

所以其直角坐標(biāo)方程為.

（Ⅱ）由題意得，直線過定點(diǎn)，為其傾斜角，曲線：，表示以為圓心，以1為半徑的圓.

當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)直線與圓不相交.

當(dāng)時(shí)，設(shè)表示直線的斜率，則：.

設(shè)圓心到直線的距離為.

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，令，解得或.

則當(dāng)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，.

因?yàn)?/span>，由，可得，

即的取值范圍為.