Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+b滿足f（1）=0，且在x=2時(shí)函數(shù)取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（t＞0）上的最大值g（t）的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3+ax2+b，

∴f′（x）=3x2+2ax，

∵函數(shù)f（x）在x=2時(shí)函數(shù)取得極值，

∴f′（2）=0，即12+4a=0，

∴a=﹣3，

又∵f（1）=1﹣3+b=0，

∴b=2，

綜上a=﹣3、b=2

（2）解：由（1）可知f（x）=x3﹣3x2+2，

∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），

∵x＜0時(shí)，f′（x）＞0，

∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增；

∵0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，

∴函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減；

∵x＞2時(shí)，f′（x）＞0，

∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，2），

單調(diào)遞增區(qū)間為：（﹣∞，0）∪（2，+∞）

（3）解：令f（x）=f（0），即x3﹣3x2+2=2，

解得：x=0或x=3，

∵函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)t∈（0，2]時(shí)，g（t）=f（0）=2；

∵函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，且f（3）=f（0）=2，

∴當(dāng)t∈（2，3]時(shí)，g（t）=f（3）=2；

當(dāng)t∈（3，+∞）時(shí)，g（t）=f（t）=t3﹣3t2+2；

綜上所述，g（t）= ．

【解析】（1）通過f′（2）=0及f（1）=0，計(jì)算即得結(jié)論；（2）通過對函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+2求導(dǎo)，進(jìn)而可判斷單調(diào)區(qū)間；（3）通過函數(shù)在[0，+∞）上的單調(diào)性，結(jié)合最值的概念，畫出草圖，計(jì)算即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．