Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+k•3ⁿ⁺¹（k是與n無關(guān)的常數(shù)且k≠0），設(shè)b_n=

an

3n

．
（1）證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=3a_n+k•3ⁿ⁺¹，可得

an+1

3n+1

=

an

3n

+k，可得b_n+1-b_n=k為常數(shù)，即可證明；
（2）由（1）可得b_n=

1

3

+(n-1)k=kn+

1

3

-k．可得a_n=3n(kn+

1

3

-k)，利用數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，可得a_n＞a_n+1，解出即可．

解答： （1）證明：∵a_n+1=3a_n+k•3ⁿ⁺¹，∴

an+1

3n+1

=

an

3n

+k，
∵b_n=

an

3n

，∴b_n+1-b_n=k為常數(shù)，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項為

a1

3

=

1

3

，公差是常數(shù)k；
（2）解：由（1）可得b_n=

1

3

+(n-1)k=kn+

1

3

-k．
∴a_n=3n(kn+

1

3

-k)，
∵數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
∴a_n＞a_n+1，
∴3n(kn+

1

3

-k)＞3n+1(kn+

1

3

)，
∴k＜

-2

3(2n+1)

，
∵數(shù)列{

-2

6n+3

}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴k＜

-2

9

．
∴k的取值范圍是k＜

-2

9

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．