Question

【題目】設(shè)橢圓的方程為，斜率為的動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，以線段的中點(diǎn)為圓心，為直徑作圓.

（1）求圓心的軌跡方程，并描述軌跡的圖形；

（2）若圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線的方程；

（3）證明：圓內(nèi)含或內(nèi)切于圓.

Answer 1

【答案】（1）圓心的軌跡方程為，軌跡為線段；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式大于零，以及韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得圓心的軌跡方程，并確定軌跡圖形；

（2）利用弦長(zhǎng)公式求得，以及圓的方程，代入原點(diǎn)，可求的值，進(jìn)而可求得直線的方程；

（3）利用兩圓內(nèi)切和內(nèi)含的條件，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，計(jì)算可得出結(jié)論成立.

（1）設(shè)斜率為的動(dòng)直線的方程為，

聯(lián)立橢圓方程，可得，

設(shè)、，則，即，

由韋達(dá)定理得，，

則中點(diǎn)，可得圓心的軌跡方程為，即軌跡為線段；

（2）由（1）可得，

可得圓的方程為，

若圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可得，解得，

因此，直線的方程為；

（3）圓的圓心設(shè)為，半徑為，

圓的圓心，半徑為，

由，

可令，則，

可得，

可得圓內(nèi)含或內(nèi)切于圓.