【題目】設(shè)橢圓的方程為,斜率為的動直線交橢圓于、兩點,以線段的中點為圓心,為直徑作圓.
(1)求圓心的軌跡方程,并描述軌跡的圖形;
(2)若圓經(jīng)過原點,求直線的方程;
(3)證明:圓內(nèi)含或內(nèi)切于圓.
【答案】(1)圓心的軌跡方程為,軌跡為線段;(2);(3)證明見解析.
【解析】
(1)設(shè)直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,利用判別式大于零,以及韋達定理和中點坐標公式,可得圓心的軌跡方程,并確定軌跡圖形;
(2)利用弦長公式求得,以及圓的方程,代入原點,可求的值,進而可求得直線的方程;
(3)利用兩圓內(nèi)切和內(nèi)含的條件,結(jié)合兩點間的距離公式,計算可得出結(jié)論成立.
(1)設(shè)斜率為的動直線的方程為,
聯(lián)立橢圓方程,可得,
設(shè)、,則,即,
由韋達定理得,,
則中點,可得圓心的軌跡方程為,即軌跡為線段;
(2)由(1)可得,
可得圓的方程為,
若圓經(jīng)過原點,可得,解得,
因此,直線的方程為;
(3)圓的圓心設(shè)為,半徑為,
圓的圓心,半徑為,
由,
可令,則,
可得,
可得圓內(nèi)含或內(nèi)切于圓.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,以坐標原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為,兩條曲線交于兩點.
(1) 求直線與曲線交點的極坐標;
(2) 已知為曲線 (為參數(shù))上的一動點,設(shè)直線與曲線的交點為,求的面積的最小值.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè), 是的導(dǎo)函數(shù).
①若對任意的,求證:存在使;
②若,求證: .
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【題目】在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸,以相同的長度單位建立極坐標系.己知直線的直角坐標方程為,曲線C的極坐標方程為.
(1)設(shè)t為參數(shù),若,求直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)已知:直線與曲線C交于A,B兩點,設(shè),且,,依次成等比數(shù)列,求實數(shù)a的值.
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【題目】在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù),則A,B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是
A. 眾數(shù) B. 平均數(shù) C. 中位數(shù) D. 標準差
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【題目】已知橢圓的離心率為,右焦點為,左頂點為A,右頂點B在直線上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點P是橢圓C上異于A,B的點,直線交直線于點,當點運動時,判斷以為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系,并加以證明.
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