【題目】四棱錐中，底面為矩形， .側(cè)面底面.

（1）證明： ；

（2）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】【試題分析】（1）設(shè)中點為，連接，由已知，所以，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，有平面，以為原點， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計算可得證.（2）設(shè)，利用直線和平面所成角為，計算，再利用平面和平面的法向量計算二面角的余弦值.

【試題解析】

解：（1）證法一：設(shè)中點為，連接，

由已知，所以，

而平面平面，交線為

故平面

以為原點， 為軸， 為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)，

則

所以

，所以.

證法二：設(shè)中點為，連接，由已知，所以，

而平面平面，交線為

故平面，從而 ①

在矩形中，連接，設(shè)與交于，

則由知，所以

所以，故 ②

由①②知平面

所以.

（2）由，平面平面，交線為，可得平面，

所以平面平面，交線為

過作，垂足為，則平面

與平面所成的角即為角

所以

從而三角形為等邊三角形，

（也可以用向量法求出，設(shè)，則，可求得平面的一個法向量為，而，由可解得）

設(shè)平面的一個法向量為，則，

， 可取

設(shè)平面的一個法向量為，則，

，可取

于是，

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進(jìn)條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設(shè)．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況，隨機調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時間（單位：小時）并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求這200名學(xué)生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和中位數(shù)（的值精確到0.01）；

（2）為查找影響學(xué)生閱讀時間的因素，學(xué)校團(tuán)委決定從每周閱讀時間為，的學(xué)生中抽取9名參加座談會．

（i）你認(rèn)為9個名額應(yīng)該怎么分配？并說明理由；

（ii）座談中發(fā)現(xiàn)9名學(xué)生中理工類專業(yè)的較多．請根據(jù)200名學(xué)生的調(diào)研數(shù)據(jù)，填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生閱讀時間不足（每周閱讀時間不足8.5小時）與“是否理工類專業(yè)”有關(guān)？

閱讀時間不足8.5小時

閱讀時間超過8.5小時

理工類專業(yè)

40

60

非理工類專業(yè)

附：（）.

臨界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

<>

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】改革開放以來，我國農(nóng)村7億多貧困人口擺脫貧困，貧困發(fā)生率由1978年的下降到2018年底的，創(chuàng)造了人類減貧史上的中國奇跡，為全球減貧事業(yè)貢獻(xiàn)了中國智慧和中國方案．“貧困發(fā)生率”是指低于貧困線的人口占全體人口的比例.2012年至2018年我國貧困發(fā)生率的數(shù)據(jù)如表：

年份（）

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

貧困發(fā)生率

10.2

8.5

7.2

5.7

4.5

3.1

1.4

（1）從表中所給的7個貧困發(fā)生率數(shù)據(jù)中任選兩個，求兩個都低于的概率；

（2）設(shè)年份代碼，利用回歸方程，分析2012年至2018年貧困發(fā)生率的變化情況，并預(yù)測2019年的貧困發(fā)生率．

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式為：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線的方程為.

（1）求圓的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線與圓相交于、兩點，與軸交于點，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拋物線：，直線的斜率為2．

（Ⅰ）若與相切，求直線的方程；

（Ⅱ）若與相交于，，線段的中垂線交于，，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點到拋物線的焦點的距離和它到直線的距離之比是．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過圓：上任意一點作圓的切線與軌跡交于，兩點，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若無窮數(shù)列滿足：，當(dāng)'，時， （其中表示，，…，中的最大項），有以下結(jié)論：

① 若數(shù)列是常數(shù)列，則；

② 若數(shù)列是公差的等差數(shù)列，則；

③ 若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則：

④ 若存在正整數(shù)，對任意，都有，則，是數(shù)列的最大項.

其中正確結(jié)論的序號是____（寫出所有正確結(jié)論的序號）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著節(jié)能減排意識深入人心以及共享單車在饒城的大范圍推廣，越來越多的市民在出行時喜歡選擇騎行共享單車。為了研究廣大市民在共享單車上的使用情況，某公司在我市隨機抽取了100名用戶進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

每周使用次數(shù)

1次

2次

3次

4次

5次

6次及以上

男

4

3

3

7

8

30

女

6

5

4

4

6

20

合計

10

8

7

11

14

50

（1）如果認(rèn)為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎行共享單車”，請完成列表（見答題卡），并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(guān)？

（2）每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達(dá)人”，視頻率為概率，在我市所有“騎行達(dá)人”中，隨機抽取4名用戶.

① 求抽取的4名用戶中，既有男生“騎行達(dá)人”又有女“騎行達(dá)人”的概率；

②為了鼓勵女性用戶使用共享單車，對抽出的女“騎行達(dá)人”每人獎勵500元，記獎勵總金額為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為線段CD和上的動點，且滿足，則四邊形所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和（　　）

A. 有最小值B. 有最大值C. 為定值3D. 為定值2

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