Question

【題目】在四棱錐中，，，是的中點，是等邊三角形，平面平面.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角大小的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中點為，連結(jié)，，，設(shè)交于，連結(jié).根據(jù)題意可得到四邊形與四邊形均為菱形，即可說明，再由題意說明平面，即，又，即可說明，即可說明平面.

（Ⅱ）取的中點為，以為空間坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.令，則可寫出，.即可求出平面的法向量，再由（1）知平面的法向量，代入公式即可求出二面角的平面角的余弦值，方可求出二面角大小的正弦值.

解：（Ⅰ）取的中點為，連結(jié)，，，設(shè)交于，連結(jié).

∵，

∵四邊形與四邊形均為菱形

∴，∵

∵為等邊三角形，為中點

∴

∵平面平面且平面平面.

平面且

∴平面

∵平面

∴

∵，分別為，的中點∴

∴

又∵

，平面

平面

（Ⅱ）取的中點為，以為空間坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，.

，.

設(shè)平面的一法向量.

由.

令，則.

由（Ⅰ）可知，平面的一個法向量.

∴二面角的平面角的余弦值.

二面角大小的正弦值為.