Question

【題目】已知函數(shù).

(1)證明：當時，有且僅有一個零點.

(2)當，函數(shù)的最小值為，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值，結(jié)合零點存在性定理，證得結(jié)論成立.（2）先求得得到解析式和導函數(shù).根據(jù)（1）的結(jié)論，求得導函數(shù)的零點，根據(jù)將轉(zhuǎn)化為的形式，進而求得最小值的表達式，利用構(gòu)造函數(shù)法和導數(shù)作為工具，求得最小值的取值范圍，進而求得的取值范圍.

（1）證明：因為，所以.

令，解得；令，解得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，因為，所以，所以當時，，故在上沒有零點，因為，所以當時，，因為在上單調(diào)遞增，所以有且僅有一個零點綜上，當時，有且僅有一個零點.

（2）解：因為，所以.

由（1）知當時，有且僅有一個零點，因為，，所以存在唯一，使得，且當時，；當時，.

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以

，又，即，代入上式得，

，，設函數(shù)，，則在上單調(diào)遞減，故，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，故對任意，存在唯一的，，使得，所以的值域是，綜上，當時，函數(shù)的最小值的值域為