Question

已知定義在[-2，2]上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=x（x-2）．
（1）求f（x）的解析式和值域；
（2）設(shè)g（x）=ln（x+2）-ax-2a，其中常數(shù)a＞0．
①試指出函數(shù)F（x）=g（f（x））的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
②若當(dāng)1+

1

k

是函數(shù)F（x）=g（f（x））的一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的常數(shù)a記為a_k，其中k=1，2，…，n．
證明：a₁+a₂+…+a_n＜

7

6

（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由奇函數(shù)性質(zhì)得f（0）=0，當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)，f（x）=-f（-x）=-（-x）（-x-2）=-x（x+2），由此能求出f（x）的解析式和值域．
（2）①當(dāng)t=0時(shí)，方程f（x）=t有三個(gè)實(shí)根，當(dāng)t=1或t=-1時(shí)，方程f（x）=t只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)t∈（0，1）或t∈（-1，0）時(shí)，方程f（x）=t有兩個(gè)實(shí)根．設(shè)h（x）=

ln(x+2)

x+2

，x∈[-1，1]，h（-1）=0，h′(x)=

1-ln(x+2)

(x+2)2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)F（x）=g（f（x））的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
②由已知得g（f（1+

1

k

））=0，g（f（1+

1

k

））=g（

1

k2

-1）=ln（

1

k2

+1-a_k（

1

k2

+1）=0，從而ak=

ln( 1 k2 +1)

1 k2 +1

，記m（x）=ln（x+1）-x，m′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明a₁+a₂+…+a_n＜

7

6

（n∈N^*）．

解答： （1）解：∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=0．
當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)，-x∈（0，2]，則f（x）=-f（-x）=-（-x）（-x-2）=-x（x+2），
∴f（x）=

x(x-2)，x∈[0，2] -x(x+2)，x∈[-2，0)

．
∵x∈[0，2]時(shí)，f（x）∈[-1，0]，x∈[-2，0），f（x）∈[0，1]，
∴f（x）的值域?yàn)閇-1，1]．

（2）①解：函數(shù)f（x）的圖象如圖a所示，當(dāng)t=0時(shí)，方程f（x）=t有三個(gè)實(shí)根，
當(dāng)t=1或t=-1時(shí)，方程f（x）=t只有一個(gè)實(shí)根，
當(dāng)t∈（0，1）或t∈（-1，0）時(shí)，方程f（x）=t有兩個(gè)實(shí)根．
由g（x）=0，解得a=

ln(x+2)

x+2

，
∵f（x）的值域?yàn)閇-1，1]，
∴只需研究函數(shù)y=

ln(x+2)

x+2

在[-1，1]上的圖象特征．
設(shè)h（x）=

ln(x+2)

x+2

，x∈[-1，1]，h（-1）=0，
h′(x)=

1-ln(x+2)

(x+2)2

，
令h′（x）=0，得x=e-2∈（0，1），h（e-2）=

1

e

．
∵當(dāng)-1＜x＜e-2時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)e-2＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，
又∵ln2³＜ln3²，即

ln2

2

＜

ln3

3

，
由h（0）=

ln2

2

，h（1）=

ln3

3

，得h（0）＜h（1），
∴h（x）的大致圖象如圖b所示．
根據(jù)圖象b可知，當(dāng)0＜a＜

ln2

2

、

ln2

2

＜a＜

ln3

3

、a=

1

e

時(shí)，
直線y=a與函數(shù)y=h（x）的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，
則函數(shù)g（x）在[-1，1]上僅有一個(gè)零點(diǎn)，記零點(diǎn)為t，
則t分別在區(qū)間（-1，0）、（0，1）上，根據(jù)圖象a，
方程f（x）=t有兩個(gè)交點(diǎn)，
因此函數(shù)F（x）=g（f（x））有兩個(gè)零點(diǎn)．
類似地，當(dāng)a=

ln2

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在[-1，1]上僅有零點(diǎn)0，
因此函數(shù)F（x）有-1、0、1這三個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)a=

ln3

3

時(shí)，函數(shù)g（x）在[-1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)是1，
另一個(gè)零點(diǎn)在（0，1）內(nèi)，因此函數(shù)Y（x）有三個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)

ln3

3

＜a＜

1

e

時(shí)，函數(shù)g（x）在[-1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
且這兩個(gè)零點(diǎn)均在（0，1）內(nèi)，因此函數(shù)F（x）有四個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)a＞

1

e

時(shí)，函數(shù)g（x）在[-1，1]上沒有零點(diǎn)，因此函數(shù)F（x）沒有零點(diǎn)．  
②證明：∵1+

1

k

是函數(shù)F（x）=g（f（x））的一個(gè)零點(diǎn)，
∴有g(shù)（f（1+

1

k

））=0，∵1+

1

k

∈（0，2），∴f（1+

1

k

）=

1

k2

-1，
∴g（f（1+

1

k

））=g（

1

k2

-1）=ln（

1

k2

+1-a_k（

1

k2

+1）=0，
∴ak=

ln( 1 k2 +1)

1 k2 +1

，k=1，2，…，n．
記m（x）=ln（x+1）-x，m′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
∵當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，m′（x）＜0，
∴當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，m（x）＜m（0）=0，即ln（x+1）＜x．
故有l(wèi)n（

1

k2

+1）＜

1

k2

，則ak=

ln( 1 k2 +1)

1 k2 +1

＜

1 k2

1 k2 +1

=

1

k2+1

，k=1，2，…，n． 
當(dāng)n=1時(shí)，a₁＜

1

2

＜

7

6

．
當(dāng)n≥2時(shí)，∵

1

k2+1

＜

1

k2- 1 4

=

2

2k-1

-

2

2k+1

，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n＜

1

12+1

+

1

22+1

+

1

32+1

+…+

1

n2+1

＜

1

2

+(

2

3

-

2

5

)+(

2

5

-

2

7

)+…+(

2

2n-1

-

2

2n+1

)
=

1

2

+

2

3

-

2

2n+1

=

7

6

-

2

2n+1

＜

7

6

．
綜上，有a₁+a₂+…+a_n＜

7

6

（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、分段函數(shù)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、一元二次方程的求解、連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，放縮法證明數(shù)列不等式，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，以及計(jì)算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識(shí)．