【題目】已知函數(shù),a∈R.
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線為y=2x+b,求a,b的值;
(2)記g(x)=f(x)+ax,若函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,)上有最小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=0時(shí),關(guān)于x的方程f(x)=bx2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【答案】(1)a=﹣1,b=﹣2(2)a∈(0,)(3)b∈(0,)
【解析】
(1)求導(dǎo)得到f′(x),根據(jù)切線方程公式計(jì)算得到答案.
(2)g′(x),討論a≤0和a>0兩種情況,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值得到答案.
(3)方程等價(jià)于bx2﹣lnx﹣1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,設(shè)h(x)=bx2﹣lnx﹣1,則h′(x)=2bx,討論b≤0和b>0兩種情況,計(jì)算h(x)的最小值為h(),計(jì)算得到答案.
(1)∵,∴f′(x),
由題意可得,f′(1)=1﹣a=2,解得a=﹣1,∴f(1)=a+1=0,
∴直線y=2x+b過點(diǎn)(1,0),可得b=﹣2;
(2)g(x)=lnx,則g′(x)
若a≤0,則g′(x)0在(0,)上恒成立,
f(x)單調(diào)遞增,∴a≤0不符合題意,
若a>0,設(shè)G(x)=ax2+x﹣a,則G(x)在(0,)上單調(diào)遞增,
由題意,則應(yīng)有G(0)=﹣a<0,G()0,解得a,
則存在x0∈(0,),使得G(x0)=0,
且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈()時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
∴g(x)在(0,)上的最小值為g(x0),
∴a∈(0,);
(3)由題意可知,方程lnx+1=bx2,即bx2﹣lnx﹣1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,
設(shè)h(x)=bx2﹣lnx﹣1,則h′(x)=2bx.
當(dāng)b≤0時(shí),h′(x)<0恒成立,h(x)單調(diào)遞減,不可能有兩個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)b>0時(shí),令h′(x)=0,解得x.
且當(dāng)x∈(0,)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
∴h(x)的最小值為h().
由題意,應(yīng)用h()0,解得0<b.
又∵h()0,且,∴存在x1∈(),使得h(x1)=0.
∵h(),設(shè)H(b),則H′(b),
且當(dāng)x∈(0,1)時(shí),H′(b)<0,H(b)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(1,)時(shí),H′(b)>0,H(b)單調(diào)遞增,
∴H(b)≥H(1)=0,即h()≥0,
∵,∴存在x2∈(,],使得h(x2)=0.
綜上,b∈(0,).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;
(2)若是曲線上的動(dòng)點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)設(shè)函數(shù),討論的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù),若的圖象與的圖象有,兩個(gè)不同的交點(diǎn),證明:.
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【題目】如圖,在中,,,,將繞邊AB翻轉(zhuǎn)至,使面面ABC,D是BC的中點(diǎn),設(shè)Q是線段PA上的動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)PC與DQ所成角取得最小值時(shí),線段AQ的長(zhǎng)度為( )
A.B.C.D.
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【題目】下圖是某機(jī)械零件的幾何結(jié)構(gòu),該幾何體是由兩個(gè)相同的直四棱柱組合而成的,且前后,左右、上下均對(duì)稱,每個(gè)四棱柱的底面都是邊長(zhǎng)為2的正方形,高為4,且兩個(gè)四棱柱的側(cè)棱互相垂直.則這個(gè)幾何體的體積為________.
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【題目】已知橢圓的中心為原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,離心率為,不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn).
(1)若為線段的中點(diǎn),求直線的方程.
(2)若點(diǎn)是直線上一點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且滿足,設(shè)直線與直線的斜率分別為,問: 是否為定值?若是.請(qǐng)求出的值;若不是,請(qǐng)說明理由.
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【題目】一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來上大學(xué)的費(fèi)用,從孩子一周歲生日開始,每年到銀行儲(chǔ)蓄元一年定期,若年利率為保持不變,且每年到期時(shí)存款(含利息)自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期,當(dāng)孩子18歲生日時(shí)不再存入,將所有存款(含利息)全部取回,則取回的錢的總數(shù)為
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】流行性感冒(簡(jiǎn)稱流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染,是一種傳染性強(qiáng)、傳播速度快的疾病.其主要通過空氣中的飛沫、人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸傳播.流感每年在世界各地均有傳播,在我國北方通常呈冬春季流行,南方有冬春季和夏季兩個(gè)流行高峰.兒童相對(duì)免疫力低,在幼兒園、學(xué)校等人員密集的地方更容易被傳染.某幼兒園將去年春期該園患流感小朋友按照年齡與人數(shù)統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):
年齡() | |||||
患病人數(shù)() |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)計(jì)算變量、的相關(guān)系數(shù)(計(jì)算結(jié)果精確到),并回答是否可以認(rèn)為該幼兒園去年春期患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強(qiáng)?(若,則、相關(guān)性很強(qiáng);若,則、相關(guān)性一般;若,則、相關(guān)性較弱.)
參考數(shù)據(jù):.
參考公式:,
相關(guān)系數(shù).
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