Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃，{a_n-2}是等比數(shù)列，且數(shù)列{b_n+1-b_n}是等差數(shù)列，其中n∈N^*．
（1）求a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)條件，構(gòu)造方程組即可得到結(jié)論．
（2）利用等差數(shù)列的通項公式先求出{b_n+1-b_n}的通項公式，然后利用累加法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃，{a_n-2}是等比數(shù)列，
∴a₁-2=6-2=4，a₂-2=4-2=2，則公比q=

2

4

=

1

2

，則a₃-2=2×

1

2

=1，
即a₃=1+2=3．
（2）∵{a_n-2}是等比數(shù)列，
∴a_n-2=4×(

1

2

)n-1=（

1

2

）^n-3，
∵a₃=b₃，∴b₃=3，
∵{b_n+1-b_n}是等差數(shù)列，
∴b₂-b₁，b₃-b₂，b₄-b₃為等差數(shù)列，
即-2，-1，b₄-b₃為等差數(shù)列，公差d=1，則b_n+1-b_n=-2+n-1=n-3，
即b₂-b₁=-2，
b₃-b₂=-2+n-1=-1，
…
b_n-b_n-1=-2+n-1=n-4，
兩邊同時相加得b_n-b₁=

-2+n-4

2

×(n-1)=

(n-6)(n-1)

2

，
則b_n=6+

(n-6)(n-1)

2

．

點評：本題考查數(shù)列求和、等差等比數(shù)列的通項公式，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析解決問題的能力．